洛谷P1440 求m区间最小值：单调队列优化详解（从暴力到O(n)的蜕变）
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引言
在处理序列数据的区间查询问题时，暴力枚举往往难以应对大规模数据。本文以洛谷P1440为切入点，深入剖析如何通过单调队列数据结构，将时间复杂度从O(nm)优化至O(n)，完美解决百万级数据下的实时查询需求。
题目解析
问题定义
给定长度为n的序列和滑动窗口大小m，要求输出每个窗口内的最小值。当m>n时输出全0。
输入格式
- 第一行：两个整数n, m
- 第二行：n个整数表示序列元素
输出格式
输出n-m+1行，每行一个整数表示对应窗口的最小值
数据范围
- 1 ≤ m ≤ n ≤ 2×10⁶
- 元素值域：1 ≤ a_i ≤ 10⁹
算法演进：从暴力到优化
暴力解法（O(nm)）
cpp
for (int i=0; i<=n-m; i++) {
int min_val = INF;
for (int j=i; j<i+m; j++) {
min_val = min(min_val, a[j]);
}
cout << min_val << endl;
}缺陷：当n=2×10⁶时，总操作次数达4×10¹²次，远超时限。
单调队列优化（O(n)）
核心思想：维护一个双端队列，使其满足：
- 队列元素对应值严格单调递增
- 队首元素始终是当前窗口的最小值下标
- 自动清理失效元素（超出窗口范围或被新元素"淘汰"）
代码实现与优化
完整代码（C++）
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 2e6 + 5;
int a[MAXN]; // 原始数组（1-based）
int deque[MAXN]; // 手动实现双端队列
int front = 0, rear = -1;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n, m;
cin >> n >> m;
// 特殊情况处理
if (m > n) {
for (int i=0; i<n; i++) cout << "0\n";
return 0;
}
for (int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i];
// 初始化队列（前m个元素）
for (int i=1; i<=m; i++) {
while (rear >= front && a[deque[rear]] >= a[i]) rear--;
deque[++rear] = i;
}
// 处理剩余窗口
for (int i=m+1; i<=n; i++) {
cout << a[deque[front]] << "\n";
// 移除失效队首
while (deque[front] <= i - m) front++;
// 维护单调性
while (rear >= front && a[deque[rear]] >= a[i]) rear--;
deque[++rear] = i;
}
// 输出最后一个窗口
cout << a[deque[front]] << "\n";
return 0;
}关键优化点
-
输入优化
- 关闭同步流
ios::sync_with_stdio(false) - 解除cin绑定
cin.tie(nullptr)
使输入速度提升3-5倍
- 关闭同步流
-
数组下标处理
- 采用1-based索引，避免处理0号元素的特殊情况
- 显式处理m>n的边界条件
-
空间优化
- 使用静态数组模拟双端队列，避免STL动态内存分配的开销
- 相比STL deque，内存访问更连续，缓存命中率更高
算法流程详解
以输入序列[1,3,2,4,5], m=3为例：
| 窗口位置 | 队列状态（下标） | 最小值 | 操作说明 |
|---|---|---|---|
| [1,3,2] | 1 → 3 → 2 | 1 | 初始化队列 |
| [3,2,4] | 2 → 4 | 2 | 移除过期1号元素，加入4 |
| [2,4,5] | 2 → 4 → 5 | 2 | 维护单调性，加入5 |
执行流程：
- 初始化阶段：处理前m个元素，构建初始单调队列
- 滑动阶段 ：
- 输出当前窗口最小值（队首元素）
- 移除窗口左边界外的元素
- 从队尾开始移除所有≥新元素的元素，保持单调性
- 将新元素下标加入队列
复杂度分析
| 指标 | 复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n) | 每个元素最多入队、出队各一次 |
| 空间复杂度 | O(m) | 队列长度不超过窗口大小 |
常见问题解决方案
-
队列为空检查
通过
while (rear >= front)保证队列操作安全性 -
重复元素处理
使用
>=而非>判断，确保相同值元素正确弹出，维护严格单调性 -
窗口左移边界
当
deque[front] <= i - m时，队首元素已不在当前窗口
扩展应用场景
- 滑动窗口最大值：修改比较符号方向即可
- 动态规划优化：如最大矩形面积问题（LeetCode 84）
- 实时流处理：维护最近m条记录的统计信息
总结
单调队列通过三个核心操作：
- 失效元素清理：保证窗口有效性
- 单调性维护：确保最小值在队首
- 元素淘汰机制：避免无效比较
实现了时间复杂度的质的飞跃。该算法思想是解决滑动窗口类问题的基石，掌握其精髓对算法进阶至关重要。建议配合LeetCode 239（滑动窗口最大值）进行巩固练习。
"优秀的算法工程师不是在发明新算法，而是在合适场景选择最优雅的工具。" ------ 本题解正是对这一理念的实践诠释。