P2240 【深基12.例1】部分背包问题 - 详解与代码实现
一、题目概述
阿里巴巴要在承重为 T 的背包中装走尽可能多价值的金币，共有 N 堆金币，每堆金币有总重量和总价值。金币可分割，且分割后单位价格不变。目标是求出能装走的最大价值。
二、问题分析
这个问题是典型的贪心算法应用场景------部分背包问题。核心在于如何选择金币堆的装入顺序，以实现价值最大化。
关键点：
- 贪心策略：优先装单位价值（价值 / 重量）高的金币堆，这样在有限的背包容量下，能获得最大价值。
- 可分割性：金币可分割，意味着可以部分装入某堆金币，这使得问题可以用贪心策略解决，而无需动态规划（如 0-1 背包问题）。
三、解题思路
步骤详解：
- 计算单位价值：对每堆金币，计算其单位价值（价值 / 重量）。
- 排序：将金币堆按单位价值从高到低排序，这样可以优先选择价值密度高的金币。
- 装背包过程 ：
- 遍历排序后的金币堆。
- 若背包剩余容量足够装下整堆金币，则全部装入，并累加对应价值。
- 若背包剩余容量不足，则装入剩余容量所能容纳的部分金币，价值按比例累加。
- 直到背包装满或所有金币堆处理完毕。
四、代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int num; // 记录金币堆的索引（可省略）
double v; // 单位价值
}d[105];
bool cmp(node x, node y)
{
if (x.v > y.v) return true;
return false;
}
int main()
{
int N, T;
int m[105] = { 0 }; // 每堆金币的重量
int v[105] = { 0 }; // 每堆金币的价值
cin >> N >> T;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
cin >> m[i] >> v[i];
d[i].v = (double) v[i] / (double) m[i]; // 计算单位价值
d[i].num = i; // 记录索引（实际未用）
}
sort(d, d + N, cmp); // 按单位价值从高到低排序
double sum = 0;
int wei = 0; // 已装重量
for (int i = 0; i < N; i++)
{
if(T - wei > 0) // 背包未满
{
if (wei + m[d[i].num] > T) // 当前堆无法完全装入
{
sum += (T - wei) * d[i].v; // 装入部分
wei = T; // 背包满了
}
else
{
sum += d[i].v * m[d[i].num]; // 装入整堆
}
wei += m[d[i].num]; // 更新已装重量（即使装满 T 后也不影响）
}
}
printf("%.2lf", sum); // 输出保留两位小数
return 0;
}五、代码分析
数据结构：
- 使用结构体
node存储每堆金币的单位价值和索引（索引也可省略）。 - 数组
m和v分别存储金币堆的重量和价值。
算法流程：
- 输入读取和预处理：读取金币堆数量 N 和背包承重 T，计算每堆金币的单位价值。
- 排序 ：通过自定义比较函数
cmp，将金币堆按单位价值从高到低排序。 - 贪心装背包 ：
- 遍历排序后的金币堆，根据背包剩余容量决定装入整堆还是部分。
- 累加价值到总价值变量
sum中。
- 输出结果 ：使用
printf输出总价值，保留两位小数。
六、测试用例与结果验证
输入示例：
4 50
10 60
20 100
30 120
15 45输出：
240.00验证过程：
- 各堆金币的单位价值分别为：
- 堆 0：60 / 10 = 6.0
- 堆 1：100 / 20 = 5.0
- 堆 2：120 / 30 = 4.0
- 堆 3：45 / 15 = 3.0
- 排序后顺序为堆 0 → 堆 1 → 堆 2 → 堆 3。
- 背包容量 T=50：
- 先装堆 0，重 10，价值 60，剩余容量 40。
- 装堆 1，重 20，价值 100，剩余容量 20。
- 装堆 2，重 30，但剩余容量只有 20，装入 20 重量，价值 4 * 20 = 80（单位价值是 4）。
- 总价值：60 + 100 + 80 = 240.00。
七、总结与拓展
总结：
部分背包问题通过贪心策略（按单位价值排序）可以高效求解。关键在于理解贪心选择的正确性：优先装单位价值高的物品，能保证全局价值最大。
拓展：
- 0-1 背包问题：物品不可分割，需用动态规划解决。
- 多约束背包问题：如同时有重量和体积限制，需更复杂的算法。
- 变种问题：如要求必须装满背包，或物品有依赖关系等。
希望本篇文章能帮助你更好地理解部分背包问题的解法。如果有其他问题或需要进一步探讨，欢迎留言交流！