input：n个变量的k-CNF公式
ouput：该公式的一组满足赋值或宣布没有满足赋值
算法步骤：
- 随机均匀地初始化赋值 a ∈ { 0 , 1 } n a\in\{0,1\}^n a∈{0,1}n.
- 重复t次（后面会估计这个t）：
a. 如果在当前赋值下公式满足，则停止并输出满足赋值；
b. 找到某个C是不可满足的子句；
c. 显然C中不超过k个文字，随机选择其中一个，改变其赋值.
以上就是完整算法，很简洁且暴力。下面主要分析它的时间复杂度。
首先问题变量的状态空间是 2 n 2^n 2n的（每个变量取0或1），所以其穷举算法的时间为 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)。而上述的随机游动算法可以将这个底数2优化为 c ∈ ( 1 , 2 ) c\in(1,2) c∈(1,2)即时间复杂度为 O ( c n ) O(c^n) O(cn)，因此我们称其为改进的指数时间算法。这对于kSAT这些npc问题是很好的优化了。下面我们找出这个c的表达式。
Part 1:
假设公式可满足，某个满足赋值为 x ∗ x^* x∗，定义随机变量X为当前赋值 x x x和 x ∗ x^* x∗不同变量的个数，显然X服从二项分布B(n,0.5).当X=d时，将 x x x变成 x ∗ x^* x∗需要改变赋值的变元个数为d.
赋值改变这个过程可以看成马尔科夫链，状态0,1，...，n表示 x x x和 x ∗ x^* x∗之间的汉明距离（i.e. 不同变量的个数）,算法步骤1的随机初始化就是从开始状态到状态d，转移概率为 C n j 2 − n C^j_n2^{-n} Cnj2−n.
算法步骤2.3中因为C是不可满足的子句，在C中的至多k个变量中，至少有一个的赋值和 x ∗ x^* x∗不同，该操作从状态d到d-1的概率至少为 p = 1 k p=\frac{1}{k} p=k1，到d+1的概率至多为 1 − p = k − 1 k 1-p=\frac{k-1}{k} 1−p=kk−1.至此我们得到了一个广义的Gambler's ruin问题.
Part 2:
定义从状态d随机移动到状态0的概率为 P ( d ) P(d) P(d)，从Part 1的讨论中我们可以得到问题的转移方程：
P ( d ) = p P ( d − 1 ) + ( 1 − p ) P ( d + 1 ) P(d)=pP(d-1)+(1-p)P(d+1) P(d)=pP(d−1)+(1−p)P(d+1)
其中 P ( 0 ) = 1 P(0)=1 P(0)=1.（区别于赌徒破产问题，我们只有状态0这一个吸收态）虽然状态没有拓扑序，无法从初始状态直接递推，但注意到这是一个线性齐次递推式，我们可以通过解对应的特征方程 ( 1 − p ) r 2 − r + p = 0 (1-p)r^2-r+p=0 (1−p)r2−r+p=0构造通解。方程的两个根为 p 1 − p \frac{p}{1-p} 1−pp和 1 1 1. 我们有：
P ( n ) = A ( p 1 − p ) n + B ( 1 ) n = A ( p 1 − p ) n + B P(n)=A\left(\frac{p}{1-p}\right)^n+B(1)^n=A\left(\frac{p}{1-p}\right)^n+B P(n)=A(1−pp)n+B(1)n=A(1−pp)n+B
代入 P ( 0 ) = 1 P(0)=1 P(0)=1有 A + B = 1 A+B=1 A+B=1，同时由于概率的非负性， A < 1 A<1 A<1否则我们一定可以找到一个n使得 P ( n ) < 0 P(n)<0 P(n)<0，这样我们可以得到一个下界：
P ( d ) = A ( p 1 − p ) d + 1 − A ≥ ( p 1 − p ) d P(d)=A\left(\frac{p}{1-p}\right)^d+1-A\geq\left(\frac{p}{1-p}\right)^d P(d)=A(1−pp)d+1−A≥(1−pp)d
代入p得到 P ( d ) ≥ ( k − 1 ) − d P(d)\geq(k-1)^{-d} P(d)≥(k−1)−d
Part 3：
所以当满足赋值为 x ∗ x^* x∗存在时，我们通过随机游动找到它的概率为：
P ∗ ≥ ∑ d n C n d 2 − n ( k − 1 ) − d = 2 − n ( 1 + 1 k − 1 ) n ( 二项式定理 ) P^*\geq \sum_{d}^{n} C^d_n2^{-n}(k-1)^{-d}=2^{-n}\left(1+\frac{1}{k-1}\right)^n(二项式定理) P∗≥d∑nCnd2−n(k−1)−d=2−n(1+k−11)n(二项式定理)
因此重复次数t的期望为 1 P ∗ \frac{1}{P^*} P∗1，算法的复杂性为
p o l y ( n ) × 1 P ∗ = p o l y ( n ) × ( 2 ( 1 − 1 k ) ) n poly(n)\times\frac{1}{P^*}=poly(n)\times\left(2\left(1-\frac{1}{k}\right)\right)^n poly(n)×P∗1=poly(n)×(2(1−k1))n
以上，我们通过随机游动算法给出了kSAT的改进的指数时间的随机算法.
参考材料：
屈婉玲, 刘田, 张立昂, 王捍贫. 算法设计与分析习题解答与学习指导[M]. 第2版. 北京: 清华大学出版社, 2016.3. ISBN 9787302364924.