内容

\(ax+by=c\) 是一个关于 \(x,y\) 的整系数二元一次方程有整数解的充要条件是 \(\gcd(a,b)\ |\ c\)。

证明

我们可以先只考虑 \(ax+by=1\) 的解。

若 \(\gcd(a,b)=d>1\) 则左右模 \(d\) 不同余。

对于 \(ax+by=c\) 若 \(d\) 不为 \(c\) 的因子则同样无解。
若 \(\gcd(a,b)=1\) 则我们考虑 \(ax+by=1\) 左右同时模 \(b\) 有 \(ax\equiv 1(\mathrm{mod}\ b)\)，因为 \(\left\{1,2,\dots,b \right\}\) 为模 \(b\) 的完系，且 \(\gcd(a,b)=1\)，所以 \(\left\{a,2a,\dots,ab\right\}\) 也为模 \(b\) 的完系。所以必存在 \(x_0∈\left\{1,2,\dots,b\right\}\) 使得 \(ax_0\equiv 1(\mathrm{mod}\ b)\)。我们可以记 \(ax_0=1+kb\) 代入 \(ax+by=1\) 有 \(y=-k\)。所以 \(ax+by=1\) 有整数解。到这里我们可以发现其实这也就相当于 \(ax+by=c\) 有整数解，因为你把 \(ax+by=1\) 的整数解乘上 \(c\) 就好了。

这样充分性就证明完毕了！

上一道模板题：link。

接下来上代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define I using
#define AK namespace
#define IOI std
#define i_ak return
#define ioi  0
#define i_will signed
#define ak main
#define IMO ()
#define int long long
#define double long double
I AK IOI;
int n,ans,x;
i_will ak IMO{
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	//freopen("","r",stdin);
	//freopen("","w",stdout);
	cin>>n>>ans; 
	ans=abs(ans);
	while(n--){
		cin>>x;
		ans=__gcd(ans,abs(x));
	}
    cout<<ans;
	i_ak ioi;
}

亲测可过，请勿抄袭！

【模板】裴蜀定理

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