很好，我们现在来回答你问的这个问题：
🟠 幂级数在收敛半径 R R R 以外会发生什么？
我们考虑一个一般形式的幂级数：
∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n n=0∑∞an(x−x0)n
它的收敛半径为 R R R，那么：
✅ 一、在 ∣ x − x 0 ∣ < R |x - x_0| < R ∣x−x0∣<R（收敛圆内部）
- 幂级数绝对收敛
- 连续、可导、可按项积分、可按项微分（性质很好）
⚠️ 二、在 ∣ x − x 0 ∣ = R |x - x_0| = R ∣x−x0∣=R（收敛圆边界）
-
幂级数可能：
- 收敛（绝对或条件）
- 也可能发散
-
需要逐个端点判别
❌ 三、在 ∣ x − x 0 ∣ > R |x - x_0| > R ∣x−x0∣>R（收敛圆外部）
一定发散 \textcolor{red}{\boxed{\text{一定发散}}} 一定发散
✅ 原因：
这是幂级数的一个基本定理：
幂级数只在收敛圆内部收敛，在圆外一定发散。
具体解释如下：
幂级数的收敛性由项 a n ( x − x 0 ) n a_n (x - x_0)^n an(x−x0)n 控制，它的收敛性由以下公式决定：
R = 1 lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ 1 / n R = \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}} R=n→∞limsup∣an∣1/n1
如果 ∣ x − x 0 ∣ > R |x - x_0| > R ∣x−x0∣>R，则：
∣ a n ( x − x 0 ) n ∣ ↛ 0 \left| a_n (x - x_0)^n \right| \not\to 0 ∣an(x−x0)n∣→0
或者甚至发散得很快，意味着整个级数不能收敛。
📌 举个例子说明
考虑幂级数：
∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots n=0∑∞xn=1+x+x2+x3+⋯
- 这是一个等比级数 a = 1 , q = x a = 1, q = x a=1,q=x
- 它的收敛半径 R = 1 R = 1 R=1
- 当 ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1 ，收敛，和为 1 1 − x \frac{1}{1 - x} 1−x1
- 当 ∣ x ∣ = 1 |x| = 1 ∣x∣=1 ，需要分别判断（比如 x = 1 x = 1 x=1 发散， x = − 1 x = -1 x=−1 条件收敛）
- 当 ∣ x ∣ > 1 |x| > 1 ∣x∣>1 ，项 x n x^n xn 越来越大 → 一定发散！