幂级数和幂级数的和函数有什么关系？
本文例子引用自：80_1幂级数运算，逐项积分、求导【小元老师】高等数学，考研数学
求幂级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n x n \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n n=1∑∞n1xn 的和函数
（1）求收敛半径，由于是不缺项级数所以可以使用 lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho n→∞lim∣anan+1∣=ρ，若是缺项级数则只能使用 lim n → ∞ ∣ u n + 1 ( x ) u n ( x ) ∣ = ρ ∣ ϕ ( x ) ∣ < 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\rho|\phi(x)|\lt 1 n→∞lim∣un(x)un+1(x)∣=ρ∣ϕ(x)∣<1，当然不缺项级数也可使用后者。
ρ = lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = lim n → ∞ ∣ 1 n + 1 1 n ∣ = 1 \rho=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}|=1 ρ=n→∞lim∣anan+1∣=n→∞lim∣n1n+11∣=1
（2）判断端点处的敛散性
当 x = − 1 x=-1 x=−1 时， ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 1 n \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n} n=1∑∞(−1)nn1， u n = 1 n → 0 u_n=\frac{1}{n}\rightarrow0 un=n1→0 且 u n = 1 n u_n=\frac{1}{n} un=n1递减，级数收敛（利用交错级数的莱布尼茨定理判别）
当 x = 1 x=1 x=1 时， ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} n=1∑∞n1， p = 1 p=1 p=1，级数发散（利用p级数判别）
（3）综上，该级数收敛域 [ − 1 , 1 ) [-1,1) [−1,1)
（4）求收敛域中幂级数的和函数（在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者不等）
s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n x n = x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + ⋯ + 1 n x n + ⋯ s(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots+\frac{1}{n}x^n+\cdots s(x)=n=1∑∞n1xn=x+21x2+31x3+⋯+n1xn+⋯
逐项求导
s ′ ( x ) = ( ∑ n = 1 ∞ 1 n x n ) ′ = 1 + x + x 2 + ⋯ + 1 n x n − 1 + ⋯ = 1 1 − x s'(x)=\big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n\big)'=1+x+x^2+\cdots+\frac{1}{n}x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1-x} s′(x)=(n=1∑∞n1xn)′=1+x+x2+⋯+n1xn−1+⋯=1−x1
左右两端同时积分（右侧逐项积分）
s ( x ) = s ( 0 ) + ∫ 0 x s ′ ( t ) d t = 0 + ∫ 0 x 1 1 − t d t = − ln ( 1 − x ) s(x)=s(0)+\int_0^xs'(t)dt=0+\int_0^x\frac{1}{1-t}dt=-\ln(1-x) s(x)=s(0)+∫0xs′(t)dt=0+∫0x1−t1dt=−ln(1−x)
上式为什么还有 s ( 0 ) s(0) s(0)?
∫ 0 x s ′ ( t ) d t = s ( x ) ∣ 0 x = s ( x ) − s ( 0 ) s ( x ) = s ( 0 ) + ∫ 0 x s ′ ( t ) d t \int_0^xs'(t)dt=s(x)|_0^x=s(x)-s(0)\\ ~\\ s(x)=s(0)+\int_0^xs'(t)dt ∫0xs′(t)dt=s(x)∣0x=s(x)−s(0) s(x)=s(0)+∫0xs′(t)dt
最终收敛域上幂级数的和函数为：
s ( x ) = − ln ( 1 − x ) ， x ∈ [ − 1 , 1 ) s(x)=-\ln(1-x)，x\in[-1,1) s(x)=−ln(1−x)，x∈[−1,1)
我们为什么要兜圈子先对级数求导（或积分）然后再进行积分（或求导）呢？
主要想利用等比级数，因为其和函数容易求得，而逐项求导和积分的目的是将所给幂级数变换为等比级数，随后利用等比级数求出所给幂级数的和函数
我们在图像中看看到底幂级数和幂级数的和函数有什么关系？
下图中幂级数的图像为绿色曲线，其实不是真正的图像，因为 n n n为无穷大，笔者这里 n n n只取到了9，仅做示意。下图中红色曲线为幂级数和函数的图像，我们可以发现在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者是不等的
