本文涉及知识点
预习
等比数列求和
u i = a q i − 1 , 1 ≤ i ≤ n ，令 s n = ∑ i = 1 n u i , q ≠ 0 u_i=aq^{i-1},1 \le i \le n，令s_n=\sum\limits_{i=1}^nu_i,q\neq 0 ui=aqi−1,1≤i≤n，令sn=i=1∑nui,q=0。
q s n − s n = a q n − a → s n = a ( q n − 1 ) q − 1 qs_n-s_n=aq^n-a \to s_n=\frac {a(q^n-1)}{q-1} qsn−sn=aqn−a→sn=q−1a(qn−1)
调和级数
∑ i = 1 ∞ 1 i \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac 1 i i=1∑∞i1
调和级数和 = 1 + ( 1 2 + 1 3 ) + ( 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 ) ⋯ ≤ ⌈ log 2 ( n + 1 ) ⌉ =1 + (\frac 1 2+\frac 1 3)+(\frac 1 4 + \frac 1 5 + \frac 1 6 + \frac 1 7) \cdots \le \lceil \log_2(n+1)\rceil =1+(21+31)+(41+51+61+71)⋯≤⌈log2(n+1)⌉
第一节 常数项级数的概念和性质
一，常数项级数的概念
定义 ：如果级数 ∑ i = 1 ∞ u i 的部分和数列 s n 有极限 s ，即 \sum\limits_{i=1}^{\infty}u_i的部分和数列{s_n}有极限s，即 i=1∑∞ui的部分和数列sn有极限s，即
lim n → ∞ s n = s \lim\limits_{n\to \infty }s_n=s n→∞limsn=s
那么称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ 收敛，这时极限 s 叫做这级数的和，并写成 那么称无穷级数\sum\limits_{i=1}^{\infty}收敛，这时极限s叫做这级数的和，并写成 那么称无穷级数i=1∑∞收敛，这时极限s叫做这级数的和，并写成
s = u 1 + u 2 + ⋯ + u i + ⋯ ; s=u_1+u_2+\cdots +u_i+\cdots; s=u1+u2+⋯+ui+⋯;
如果 s n 没有极限，那么称为无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i 发散 {s_n}没有极限，那么称为无穷级数\sum\limits_{i=1}^{\infty}u_i发散 sn没有极限，那么称为无穷级数i=1∑∞ui发散
二、收敛级数的基本性质
性质1 ： 如果级数 ∑ n = 1 ∞ u i 收敛于和 s ，那么级数 ∑ n = 1 ∞ k u i 也收敛，其和为 k s 。 \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_i收敛于和s，那么级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}ku_i也收敛，其和为ks。 n=1∑∞ui收敛于和s，那么级数n=1∑∞kui也收敛，其和为ks。
性质2 ：如果级数 ∑ n = 1 ∞ u i 收敛于 s , ∑ n = 1 ∞ v i 收敛于 σ ，那么级数 ∑ n = 1 ∞ ( u i ± v i ) 收敛于 s ± σ \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_i收敛于s,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_i收敛于\sigma，那么级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_i\pm v_i)收敛于s\pm\sigma n=1∑∞ui收敛于s,n=1∑∞vi收敛于σ，那么级数n=1∑∞(ui±vi)收敛于s±σ
性质3 ：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
性质4 ：如果级数 ∑ n = 1 ∞ u i \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_i n=1∑∞ui收敛，那么对于这级数的项任意加括号所成的级数： ( u 1 + u 2 + ⋯ u n 1 ) + ( u n 1 + 1 + u n 1 + 2 + ⋯ u n 2 ) + ⋯ + ( u n k − 1 + 1 + u n k − 1 + 2 + ⋯ u n k ) + ⋯ 仍收敛 (u1+u2+\cdots u_{n_1})+(u_{n_1+1}+u_{n_1+2}+\cdots u_{n_2})+\cdots+(u_{n_{k-1}+1}+u_{n_{k-1}+2}+\cdots u_{n_k})+\cdots 仍收敛 (u1+u2+⋯un1)+(un1+1+un1+2+⋯un2)+⋯+(unk−1+1+unk−1+2+⋯unk)+⋯仍收敛
加括号后收敛，原级数不一定收敛。如： 1 , − 1 , 1 , − 1 ⋯ 1,-1,1,-1 \cdots 1,−1,1,−1⋯
性质5(级数收敛的必要条件) 如果级数 ∑ i = 1 u i 收敛，那么它的一般项趋于零，即 lim n → ∞ = 0 \sum\limits_{i=1}u_i收敛，那么它的一般项趋于零，即\lim\limits_{n \to \infty}=0 i=1∑ui收敛，那么它的一般项趋于零，即n→∞lim=0
第二节 常数项级数的审敛法
正项级数及其审敛法
定理1 正项级数 ∑ n = 1 ∞ 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 { s n } 有界 \sum\limits_{n=1}^{\infty}收敛的充分必要条件是：它的部分和数列\{s_n\}有界 n=1∑∞收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界
定理2（比较审敛法) 设 ∑ n = 1 ∞ u n 和 ∑ n = 1 ∞ v n 都是正项级数，且 v n ≤ u n 。若级数 u n 收敛，则 v n 收敛；反之， u n 发散，则 v n 发散 \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n都是正项级数，且v_n \le u_n。若级数u_n收敛，则v_n收敛；反之，u_n发散，则v_n发散 n=1∑∞un和n=1∑∞vn都是正项级数，且vn≤un。若级数un收敛，则vn收敛；反之，un发散，则vn发散
推论 :设 ∑ n = 1 ∞ u n 和 ∑ n = 1 ∞ v n 都是正项级数，如果 v n 收敛，则存在正整数 N ，使得当 n ≥ N 时，有 u n ≥ k v n ， ( k > 0 ) 那么 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当 n ≥ N 时有 u n ≥ k v n ( k > 0 ) 成立，那么级数 u n 发散 \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n都是正项级数，如果v_n收敛，则存在正整数N，使得当n \ge N时，有u_n \ge kv_n，(k>0)那么u_n收敛；如果级数v_n发散，且当n \ge N时有u_n \ge kv_n(k>0)成立，那么级数u_n发散 n=1∑∞un和n=1∑∞vn都是正项级数，如果vn收敛，则存在正整数N，使得当n≥N时，有un≥kvn，(k>0)那么un收敛；如果级数vn发散，且当n≥N时有un≥kvn(k>0)成立，那么级数un发散
定理3(比较审敛法的极限形式) 设 ∑ n = 1 ∞ u n 和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}{\infty}u_n和\sum\limits_{n=1}{\infty}v_n n=1∑∞un和n=1∑∞vn都是正项级数。
(1)，如果 lim n → ∞ = u n v n ( 0 ≤ l < + ∞ ) , v n 收敛，则 u n 收敛 \lim\limits_{n \to \infty} =\frac {u_n}{v_n}(0 \le l <+\infty),v_n收敛，则u_n收敛 n→∞lim=vnun(0≤l<+∞),vn收敛，则un收敛
(2)，如果 lim n → ∞ = u n v n ( l > 0 ，或极限是 + ∞ ) , v n 发散，则 u n 发散 \lim\limits_{n \to \infty} =\frac {u_n}{v_n}(l>0，或极限是+\infty),v_n发散，则u_n发散 n→∞lim=vnun(l>0，或极限是+∞),vn发散，则un发散
定理4（比值审敛法) 设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞un为正项级数，如果 lim n → ∞ u n + 1 u n = ρ , 当 ρ < 1 时，收敛； ρ > 1 或 ∞ 时级数发散， ρ = 1 ，可能发散，也可能收敛。 \lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho,当\rho<1时，收敛；\rho >1或\infty时级数发散，\rho=1，可能发散，也可能收敛。 n→∞limunun+1=ρ,当ρ<1时，收敛；ρ>1或∞时级数发散，ρ=1，可能发散，也可能收敛。
调和级数发散， u n = 1 n 2 u_n=\frac 1 {n^2} un=n21收敛
二、交错级数及其审敛法
定理7（莱布尼茨定理) 如果交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n 满足条件： \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n满足条件： n=1∑∞(−1)n−1un满足条件：
（1） u n ≥ u n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) ; u_n \ge u_{n+1}(n=1,2,3,\cdots); un≥un+1(n=1,2,3,⋯);
(2)， lim n → ∞ u n = 0 \lim\limits_{n \to \infty}u_n=0 n→∞limun=0
那么级数收敛，且其和 s ≤ u 1 s\le u1 s≤u1,其余项 r n r_n rn的绝对值|r_n| ≤ u n + 1 \le u_{n+1} ≤un+1
三、绝对收敛与条件收敛
它的各项为任意实数，如果级数 ∑ n = 1 + ∞ u n 各项绝对值构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，绝对值级数发散，则称为条件收敛。 \sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n各项绝对值构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，绝对值级数发散，则称为条件收敛。 n=1∑+∞un各项绝对值构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，绝对值级数发散，则称为条件收敛。
定理8 如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n 绝对收敛，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n 必定收敛 \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n绝对收敛，那么级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n必定收敛 n=1∑∞un绝对收敛，那么级数n=1∑∞un必定收敛
第三节 幂级数
一，函数项级数的概念
如果给定一个定义在区间I上的函数列
u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , u 3 ( x ) , ⋯ , u n ( x ) , ⋯ u_1(x),u_2(x),u_3(x),\cdots,u_n(x),\cdots u1(x),u2(x),u3(x),⋯,un(x),⋯
那么由这个函数列构成的表达式：
u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + ⋯ + u n ( x ) , ⋯ u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x),\cdots u1(x)+u2(x)+u3(x)+⋯+un(x),⋯
称为定义在区间I上的（函数项)无穷级数，简称（函数项)级数。
对于每个确定的值 x 0 ∈ I x_0\in I x0∈I，函数项级数成为常数项级数：
u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + ⋯ + u n ( x 0 ) ⋯ ( 3 − 2 ) u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+\cdots+u_n(x_0)\cdots (3-2) u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+⋯+un(x0)⋯(3−2)
如果3-2收敛，则称点 x 0 x_0 x0函数项级数的收敛点，否则称发散点。收敛点的全体，称为收敛域；发散点的全体，称为发散域。
二、幂级数及其收敛性
函数项级数中简单而常见的一类就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即幂级数。
∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n n=0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn
其中常数 a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ , a n ⋯ a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n\cdots a0,a1,a2,⋯,an⋯ 叫做幂级数的系数。
定理1(阿贝尔定理) ：如果级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n , 当 x = x 0 ( x 0 ≠ 0 ) 时收敛，那么适合 ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ 的一切 x 使得幂级数绝对收敛。反之，如果级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n ，当 x = x 0 发散，则适合不等式 ∣ x ∣ > ∣ x 0 ∣ 的一切使这幂数级发散 \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n,当x=x_0(x0\neq 0)时收敛，那么适合|x|<|x0|的一切x使得幂级数绝对收敛。反之，如果级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n，当x=x_0发散，则适合不等式|x|>|x_0|的一切使这幂数级发散 n=0∑∞anxn,当x=x0(x0=0)时收敛，那么适合∣x∣<∣x0∣的一切x使得幂级数绝对收敛。反之，如果级数n=0∑∞anxn，当x=x0发散，则适合不等式∣x∣>∣x0∣的一切使这幂数级发散
推论 ：如果幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn不是近在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上收敛，那么必有一个确定的正数R，使得：
当 ∣ x ∣ < R 时，幂级数绝对收敛；当 ∣ x ∣ > R 时，幂级数发散；当 x = R 与 x = − R 时，幂级数可能收敛也可能发散。正数 R 叫做幂级数的收敛半径，开区间 ( − R , R ) 叫做幂级数的收敛区间。 当|x|<R时，幂级数绝对收敛；当|x|>R时，幂级数发散；当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散。正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(-R,R)叫做幂级数的收敛区间。 当∣x∣<R时，幂级数绝对收敛；当∣x∣>R时，幂级数发散；当x=R与x=−R时，幂级数可能收敛也可能发散。正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(−R,R)叫做幂级数的收敛区间。
小提示 ：x=0一定收敛于 a 0 a_0 a0。
定理2 如果 lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho n→∞lim∣anan+1∣=ρ
其中 a n , a n + 1 是幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n a_n,a_{n+1}是幂级数\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n an,an+1是幂级数n=0∑∞anxn的相邻两项系数，那么这幂级数的收敛半径是
{ 1 ρ ρ > 0 + ∞ ρ = 0 0 ρ = + ∞ \begin{cases} \frac 1 \rho & \rho > 0\\ +\infty & \rho=0\\ 0 & \rho=+\infty\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ρ1+∞0ρ>0ρ=0ρ=+∞
三，幂级数运算
性质1 ：幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n 的和函数 s ( x ) 在其收敛域上连续 \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n的和函数s(x)在其收敛域上连续 n=0∑∞anxn的和函数s(x)在其收敛域上连续
性质2 ：幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n 的和函数 s ( x ) 在其收敛域上可积，并由逐项积分公式： \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n的和函数s(x)在其收敛域上可积，并由逐项积分公式： n=0∑∞anxn的和函数s(x)在其收敛域上可积，并由逐项积分公式：
∫ 0 x s ( t ) d t = ∫ 0 x [ ∑ n = 0 ∞ a n t n ] d t = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x a n t n d t = ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 ( x ∈ I ) \int_0^xs(t)dt=\int_0^x[\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n t^n]dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^ndt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}(x\in I) ∫0xs(t)dt=∫0x[n=0∑∞antn]dt=n=0∑∞∫0xantndt=n=0∑∞n+1anxn+1(x∈I)
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质3 幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n 的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导公式 \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导公式 n=0∑∞anxn的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导公式
s ′ ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ′ = ∑ n = 0 ∞ ( a n x n ) ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n x n − 1 ( ∣ x ∣ < R ) s'(x)=(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}(|x|<R) s′(x)=(n=0∑∞anxn)′=n=0∑∞(anxn)′=n=1∑∞nanxn−1(∣x∣<R)
逐项求导后得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径。
反复应用上述结论可得：幂级数和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数。
第四节 函数展开称幂级数
定理 设函数f(x)在点 x 0 x_0 x0的某一领域U(x_0)内具有各阶导数，则f(x)在该领域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内f(x)的泰勒展开式中的余项 R n ( x ) 当 n → ∞ 时的极限为 0 R_n(x)当n\to \infty时的极限为0 Rn(x)当n→∞时的极限为0,即
lim ∞ R n ( x ) = 0 , x ∈ U ( x 0 ) \lim\limits_{\infty}R_n(x)=0,x\in U(x_0) ∞limRn(x)=0,x∈U(x0)
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac 1 {n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n
x 0 = 0 ，则级数变成麦克劳林级数 x_0=0，则级数变成麦克劳林级数 x0=0，则级数变成麦克劳林级数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) ( 0 ) ( x ) n f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac 1 {n!}f^{(n)}(0)(x)^n f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(0)(x)n
e x 的任意阶导数都为 e x ，故 f ( 0 ) n = e 0 = 1 e^x的任意阶导数都为e^x，故f(0)^n=e^0=1 ex的任意阶导数都为ex，故f(0)n=e0=1，故
e x = 1 + x + x 2 2 + ⋯ + x n n ! + ⋯ , − ∞ < R < + ∞ ( 4 − 7 ) e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots,-\infty <R <+ \infty (4-7) ex=1+x+2x2+⋯+n!xn+⋯,−∞<R<+∞(4−7)
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , − ∞ < R < + ∞ ( 4 − 8 ) \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty <R <+ \infty (4-8) sinx=x−3!x3+5!x5+⋯+(−1)n(2n+1)!x2n+1,−∞<R<+∞(4−8)
( 1 1 − x ) ′ = 1 ( 1 − x ) 2 , f ( x ) = 1 1 − x ，根据归纳法，可得 f n ( x ) = n ! ( 1 − x ) n + 1 , f n ( 0 ) = n ! (\frac 1 {1-x})'=\frac {1}{(1-x)^2},f(x)=\frac 1{1-x}，根据归纳法，可得f^n(x)=\frac{n!}{{(1-x)}^{n+1}},f^n(0)=n! (1−x1)′=(1−x)21,f(x)=1−x1，根据归纳法，可得fn(x)=(1−x)n+1n!,fn(0)=n!
故 1 1 − x = x + x 2 + ⋯ + x n + , − 1 < x < 1 \frac 1 {1-x}=x+x^2+\cdots + x^n+,-1<x<1 1−x1=x+x2+⋯+xn+,−1<x<1
通过上面的式子，可以推导：
1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − x ) n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n , − 1 < x < 1 ( 4 − 9 ) \frac 1 {1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,-1<x<1 (4-9) 1+x1=n=0∑∞(−x)n=n=0∑∞(−1)nxn,−1<x<1(4−9)
对(4-9)式两端从0到x积分，可得
ln ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 x n + 1 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n , − 1 < x ≤ 1 ( 4 − 10 ) \ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n ,-1<x\le 1 (4-10) ln(1+x)=n=0∑∞n+1(−1)nxn+1=n=1∑∞n(−1)n−1xn,−1<x≤1(4−10)
对(4-8)两端求导
cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n ( − ∞ < x < + ∞ ) ( 4 − 11 ) \cos x= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} (-\infty<x<+\infty) (4-11) cosx=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n(−∞<x<+∞)(4−11)
把(4-7)式中的x换成 x ln a x\ln a xlna可得
a x = ∑ n = 0 ∞ ( ln a ) n n ! x n ( − ∞ < x < ∞ ) ( 4 − 12 ) a^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln a)^n}{n!}x^n(-\infty<x<\infty) (4-12) ax=n=0∑∞n!(lna)nxn(−∞<x<∞)(4−12)
把(4-9)式中的x换成 x 2 x^2 x2，可得
1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( − 1 < x < 1 ) ( 4 − 13 ) \frac 1 {1+x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}(-1<x<1) (4-13) 1+x21=n=0∑∞(−1)nx2n(−1<x<1)(4−13)
对(4-13)从0到x积分，可得
arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 , − 1 ≤ x ≤ 1 \arctan x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1},-1 \le x \le 1 arctanx=n=0∑∞2n+1(−1)nx2n+1,−1≤x≤1
例4 ：将函数 sin x \sin x sinx展开称 ( x − π 4 (x-\frac {\pi}4 (x−4π的幂函数。
解 ： sin x = sin [ π 4 + ( x − π 4 ) ] \sin x=\sin [\frac {\pi} 4+(x-\frac {\pi}4)] sinx=sin[4π+(x−4π)]之后利用三角函数和差化积。
例5 ：将函数f(x)= 1 x 2 + 4 x + 3 \frac 1 {x^2+4x+3} x2+4x+31展开称(x-1)的幂级数。
解 ：原式= 1 ( x + 1 ) ( x + 3 ) = 1 2 ( x + 1 ) − 1 2 ( x + 3 ) \frac 1 {(x+1)(x+3)}=\frac 1 {2(x+1)}-\frac 1 {2(x+3)} (x+1)(x+3)1=2(x+1)1−2(x+3)1
= 1 4 ( 1 + x − 1 2 ) − 1 8 ( 1 + x − 1 4 ) \frac 1 {4(1+\frac{x-1} 2)}-\frac 1 {8(1+\frac{x-1}4)} 4(1+2x−1)1−8(1+4x−1)1
第五节 函数的幂级数展开式的应用
一，近似计算
二，微分方程的幂级数解法
有点复杂，暂且放放。怀疑是选修。
三，欧拉公式
涉及复数，暂且放放。怀疑是选修。
第六节 是选修从略
第七节 傅里叶级数
一、三角级数 三角函数系的正交性
a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π t l + b n sin n π t l ) 称为三角级数 \frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi t}{l}+b_n\sin\frac{n\pi t}{l}) 称为三角级数 2a0+n=1∑∞(ancoslnπt+bnsinlnπt)称为三角级数 a 0 , a n , b n 都是常数 , n = 1 , 2 , 3.... a_0,a_n,b_n都是常数,n=1,2,3.... a0,an,bn都是常数,n=1,2,3....
令 π t l = x , 上式成为： \frac{\pi t} l=x,上式成为： lπt=x,上式成为：
a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) \frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) 2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
所谓三角函数系 1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ⋯ , cos n x , sin n x , ⋯ 1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots ,\cos nx,\sin nx,\cdots 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯在区间 [ π , π ] [\pi,\pi] [π,π]上正交，就是指在三角函数系中任意不同的两个函数的乘积在区间 [ − π , π ] 上的积分等于零。 [-\pi,\pi]上的积分等于零。 [−π,π]上的积分等于零。
二、函数展开成傅里叶级数
设f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数，且能展开成三角级数
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) （ 7 − 5 ) f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx) （7-5) f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)（7−5)
{ a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) , b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n = 1 , 2 , 3 ⋯ ) ( 7 − 6 ) \begin{cases} a_n=\frac 1 {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,3,\cdots),\\ b_n=\frac 1 {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx(n=1,2,3\cdots ) \end{cases}(7-6) {an=π1∫−ππf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,⋯),bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3⋯)(7−6)
如果(7-6)中的积分都存在，这是它们定出的系数 a 0 , a 1 , b 1 , ⋯ a_0,a_1,b_1,\cdots a0,a1,b1,⋯叫做函数f(x)的傅里叶系数，将这些系数代入(7-5)式右端，所得的三角级数叫傅里叶级数。
定理（收敛定理，迪利克雷充分条件) 设f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数，如果它满足：
（1),在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。
（2),在一个周期内至多只有有限个极值点。
那么f(x)的傅里叶级数收敛，并且
当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x);
当x是f(x)的间断点时，级数收敛于 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] \frac 1 2[f(x^-)+f(x^+)] 21[f(x−)+f(x+)]。
如果函数f(x)只在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上有定义，并且满足收敛定理的条件，那么f(x)也可以展开成傅里叶级数。我们可在 [ − π , π ) 或 ( − π , π ] [-\pi,\pi)或(-\pi,\pi] [−π,π)或(−π,π]外补充函数f(x)的定义，使它扩广为周期 2 π 2\pi 2π的周期函数F(x)。按这种方式扩广函数的定义域的过程称为周期延拓。
由于奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的2倍，因此
当f(x)为奇函数时， f ( x ) cos n x f(x)\cos nx f(x)cosnx是奇函数， f ( x ) sin n x f(x)\sin nx f(x)sinnx是偶函数，故
{ a n = 0 ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) , b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin n x d x ( n = 1 , 2 , 3 ⋯ ) \begin{cases} a_n=0 (n=0,1,2,\cdots ),\\ b_n=\frac 2 {\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nxdx (n=1,2,3\cdots) \end{cases} {an=0(n=0,1,2,⋯),bn=π2∫0πf(x)sinnxdx(n=1,2,3⋯)
当f(x)为偶函数时， f ( x ) cos n x 是偶函数， f ( x ) sin n x 是奇函数，故 f(x)\cos nx是偶函数，f(x)\sin nx是奇函数，故 f(x)cosnx是偶函数，f(x)sinnx是奇函数，故
{ a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) , b = 0 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) \begin{cases} a^n=\frac 2 {\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\cdots),\\ b=0 (n=1,2,3,\cdots) \end{cases} {an=π2∫0πf(x)cosnxdx(n=0,1,2,⋯),b=0(n=1,2,3,⋯)
设函数f(x)定义在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间 ( − π , 0 ) (-\pi,0) (−π,0)内补充函数f(x)定义，得到定义在 ( − π , π ] 上的函数 F ( x ) ，使它在 ( − π , π ) 上称为奇函数 ( 偶函数 ) (-\pi,\pi]上的函数F(x)，使它在(-\pi,\pi)上称为奇函数(偶函数) (−π,π]上的函数F(x)，使它在(−π,π)上称为奇函数(偶函数)。按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓（偶延拓)。
第八节 一般周期函数的傅里叶级数
一，周期为2l的周期函数的傅里叶级数
定理 ： 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为：
{ a n = 1 l ∫ − t t f ( x ) cos n π x d x , n = 0 , 1 , 2 ⋯ b n = 1 l ∫ − t t f ( x ) sin n π x d x , n = 1 , 2 ⋯ \begin{cases} a_n=\frac 1 l\int_{-t}^tf(x)\cos \frac{n\pi x}dx ,n=0,1,2\cdots\\ b_n=\frac 1 l\int_{-t}^tf(x)\sin \frac{n\pi x}dx ,n=1,2\cdots \\ \end{cases} {an=l1∫−ttf(x)cosdnπxx,n=0,1,2⋯bn=l1∫−ttf(x)sindnπxx,n=1,2⋯
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
