【第一章:人工智能基础】04.数学建模基本方法-(4)常见建模案例分析

第一章 人工智能基础

第四部分:数学建模基本方法

第四节:常见建模案例分析

一、数学建模概述

数学建模(Mathematical Modeling) 是指把现实世界中的复杂问题抽象成数学模型,通过数学方法分析与求解,从而指导实际决策和问题解决。

建模流程:问题描述 → 模型假设 → 模型建立 → 模型求解 → 模型验证 → 模型优化


二、常用数学建模方法
方法类型 简要说明
回归分析 建立因变量与自变量之间的函数关系
线性/非线性规划 求解最大化或最小化的目标函数问题
动态规划 将问题分解成子问题逐步求解
图论建模 适合解决网络流、路径规划等问题
排列组合与概率 处理不确定性与最优化问题
微分方程建模 表征连续时间或空间变化的问题

三、典型建模案例分析

案例 1:城市垃圾运输路径优化(图论建模)

问题背景: 某城市有多个垃圾收集点,需每天安排车辆从垃圾场出发,访问多个点后返回,路径需最短且不重复。

建模思路:

  • 抽象为图的遍历问题,每个点为顶点,每条路为边。

  • 求解方式:最短路径问题旅行商问题(TSP)

模型方法:

  • 邻接矩阵建图

  • 采用 Dijkstra 或动态规划(或近似算法)求最短路径


案例 2:商品定价策略优化(线性规划)

问题背景: 某公司生产 A、B、C 三种产品,资源有限,目标是最大化利润。

建模过程:

  • 设各产品数量为变量

  • 利润函数为目标函数

  • 原材料/人力资源等约束条件形成不等式

模型求解:

  • 线性规划模型

  • 用单纯形法或数学软件(如 MATLAB、Python scipy)求解


案例 3:流感传播预测模型(微分方程建模)

问题描述: 某地出现流感疫情,希望预测未来一段时间的感染人数变化。

建模过程:

  • 建立 SIR 模型:易感(S)、感染(I)、恢复(R)

  • 使用微分方程:

    • dS/dt = -βSI

    • dI/dt = βSI - γI

    • dR/dt = γI

模型应用:

  • 输入初始人口状态

  • 利用数值方法(如 Euler 法)进行仿真预测


案例 4:仓储调度问题(整数规划 + 贪心)

问题描述: 仓库中有若干商品订单,要求在有限时间内调度货车完成配送,优化运输总成本。

建模方法:

  • 使用二元变量表示是否选择某路径

  • 成本为目标函数

  • 时间和运力为约束条件

  • 贪心或启发式算法用于优化调度次序


四、数学建模注意事项
  1. 问题抽象是否合理(变量、约束与目标是否准确表达)

  2. 数据是否真实有效(合理预处理数据)

  3. 模型是否可解释与验证

  4. 结果是否具备现实意义与实用性

  5. 建模方法是否与问题结构匹配


五、小结
项目 内容
建模流程 问题 → 假设 → 建模 → 求解 → 验证 → 优化
常用方法 回归、规划、图论、概率、动态规划、微分建模等
工具建议 Excel, Python(Numpy, Pandas, Scipy, Matplotlib), MATLAB
实战建议 选题贴近实际、控制复杂度、关注数据质量、重视模型检验
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