1.简化的成本函数和梯度下降
这篇我们将会找出一种稍微简单一点的方法来写代价函数，来替换我们现在用的方法。同时我们还要弄清楚如何运用梯度下降法，来拟合出逻辑回归的参数。
这就是逻辑回归的代价函数：
这个式子可以合并成： C o s t ( h θ ( x ) , y ) = − y × log ( h θ ( x ) ) − ( 1 − y ) × log ( 1 − h θ ( x ) ) Cost(h_{\theta}(x), y) = - y \times \log(h_{\theta}(x)) - (1 - y) \times \log(1 - h_{\theta}(x)) Cost(hθ(x),y)=−y×log(hθ(x))−(1−y)×log(1−hθ(x))
即：
Cost ( h θ ( x ) , y ) = − y × log ( h θ ( x ) ) − ( 1 − y ) × log ( 1 − h θ ( x ) ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] \text{Cost}(h_{\theta}(x), y) = -y \times \log(h_{\theta}(x)) - (1-y) \times \log(1-h_{\theta}(x)) \ = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \Big[ y^{(i)} \log\Big(h_{\theta}(x^{(i)})\Big) + (1-y^{(i)}) \log\Big(1-h_{\theta}(x^{(i)})\Big) \Big] Cost(hθ(x),y)=−y×log(hθ(x))−(1−y)×log(1−hθ(x)) =−m1i=1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
根据这个代价函数，为了拟合出参数，该怎么做呢？我们要试图找尽量让J( θ \theta θ)取得最小值的参数 θ \theta θ。
如果我们给出一个新的样本，假如某个特征 x x x，我们可以用拟合训练样本的参数 θ \theta θ，来输出对假设的预测。
最小化代价函数的方法，是使用梯度下降法(gradient descent) 。
我们的代价函数：
J （ θ ） = − 1 m ∑ i = 1 m [ y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] J（\theta）= - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \Big[ y^{(i)} \log\Big(h_{\theta}(x^{(i)})\Big) + (1-y^{(i)}) \log\Big(1-h_{\theta}(x^{(i)})\Big) \Big] J（θ）=−m1i=1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
如果我们要最小化这个关于 θ \theta θ的函数值，这就是我们通常用的梯度下降法的模板:
我们要反复更新每个参数，用这个式子来更新，就是用它自己减去学习率 α \alpha α乘以后面的微分项。
如果你有 𝑛 个特征,也就是说：
参数向量 θ \theta θ包括 θ 0 \theta_0 θ0 , θ 1 \theta_1 θ1, θ 1 \theta_1 θ1 一直到 θ n \theta_n θn，那么你就需要用这个式子,把每个 θ \theta θ都更新一下。如果你把这个更新规则和我们之前用在线性回归上的进行比较的话，你会惊讶地发现，这个式子正是我们用来做线性回归梯度下降的。
那么，线性回归和逻辑回归是同一个算法吗？实际上，假设的定义发生了变化。
对于线性回归假设函数：
h θ ( x ) = θ T X = θ 0 x 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + ... + θ n x n h_{\theta}(x) = \theta^{T} X = \theta_{0} x_{0} + \theta_{1} x_{1} + \theta_{2} x_{2} + \ldots + \theta_{n} x_{n} hθ(x)=θTX=θ0x0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn
而现在逻辑函数假设函数：
h θ ( x ) = 1 1 + e − θ T x h_{\theta}(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^T x}} hθ(x)=1+e−θTx1
因此，即使更新参数的规则看起来基本相同，但由于假设的定义发生了变化，所以逻辑函数的梯度下降，跟线性回归的梯度下降实际上是两个完全不同的东西