爬楼梯及其进阶

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2

输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶

2 阶

示例 2：

输入：n = 3

输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶

1 阶 + 2 阶

2 阶 + 1 阶

LeetCode链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/

爬楼梯

递归

爬 n 层楼梯的所有方式 f(n) 可以表示为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。因为一次只能爬一层或者两层，因此到第 n 层前仅可能位于第 n-1 层或第 n-2 层。又可将 n-1、n-2 代入 n ，而最底层为 n = 1、 n = 2，即 f(1) = 1、f(2) = 2。可得：

cpp 复制代码

#define MAX_LENGTH = 51;
vector<int> memo(MAX_LENGTH, -1);
int stair(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    if (n == 2)
        return 2;

    if (-1 == memo[n])
        memo[n] = stair(n - 1) + stair(n - 2);

    return memo[n];

    // return stair[n-1] + stair[n-2];
}
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) { return stair(n); }
};

提交结果：

动态规划

占位

爬楼梯进阶

由于体力有限，一次爬两层后接下来两次每次只能爬一层，你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 6

输出：7

解释：第七项中，一次爬两阶后，后续两次只能为一阶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶

2 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶

1 阶 + 2 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶

1 阶 + 1 阶 + 2 阶 + 1 阶 + 1 阶

1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 2 阶 + 1 阶

1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 2 阶

2 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 2 阶

思路

在该问题中，当前可爬台阶数受到上一次执行结果的影响，因此需要考虑上一层的状态，为此我的思路是引入额外的变量进行标识。变量 flag 表示在经过几次爬升一阶后可以进行选择爬升阶梯的数量，当 flag > 0 时，每次只能爬一阶，当 flag = 0 时，可以选择下次爬一阶或者爬两阶，如果选择爬两阶需要把 flag 置为2，在起始状态下 flag 的值为0。

cpp 复制代码

long long stair(int n, int flag = 0) {
	long long v;
	if (n <= 0)
		return 0;
	if (1 == n)
		return 1;
	if (2 == n) {
		if (0 == flag)
			return 2;
		else
			return 1;
	}

	if (flag > 0) {
		v = stair(n - 1, flag - 1);
	}
	else {
		v = stair(n - 1, 0) + stair(n - 2, 2);
	}

	return v;
}

cpp 复制代码

算法的运行结果为：
爬升5阶，有：5种方法
爬升6阶，有：7种方法
爬升7阶，有：10种方法
爬升8阶，有：14种方法
爬升9阶，有：19种方法
爬升10阶，有：26种方法
爬升11阶，有：36种方法
爬升12阶，有：50种方法
爬升13阶，有：69种方法
爬升14阶，有：95种方法
爬升15阶，有：131种方法

思考

怎么使用记忆进行存储，从而避免不必要的计算资源浪费。