代数基本定理
多项式 f(z)=anzn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0f(z)=anzn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0（其中 n>1n > 1n>1 且 an,a0≠0a_n, a_0 \neq 0an,a0=0）在复数域内有根。
证明步骤
1. 假设 f(z)f(z)f(z) 无根
假设 f(z)f(z)f(z) 在复数域内无根，即对于所有 z∈Cz \in \mathbb{C}z∈C，都有 f(z)≠0f(z) \neq 0f(z)=0。因此，∣f(z)∣>0|f(z)| > 0∣f(z)∣>0 对于所有 z∈Cz \in \mathbb{C}z∈C 成立。
2. 存在最小值
由于 ∣f(z)∣|f(z)|∣f(z)∣ 是整个复平面上的连续函数，并且 limz→∞∣f(z)∣=+∞\lim_{z \to \infty } |f(z)|=+ \inftylimz→∞∣f(z)∣=+∞，根据极值定理，∣f(z)∣|f(z)|∣f(z)∣ 在 C\mathbb{C}C 上存在最小值。设 z0z_0z0 是使得 ∣f(z0)∣|f(z_0)|∣f(z0)∣ 取得最小值 sss 的点，即：
s=minz∈C∣f(z)∣=∣f(z0)∣ s = \min_{z \in \mathbb{C}} |f(z)| = |f(z_0)| s=z∈Cmin∣f(z)∣=∣f(z0)∣
3. 定义新多项式 g(z)g(z)g(z)
令 f(z0)=seiθ0f(z_0) = s e^{i\theta_0}f(z0)=seiθ0。定义新多项式 g(z)=f(z+z0)e−iθ0g(z) = f(z + z_0) e^{-i\theta_0}g(z)=f(z+z0)e−iθ0。则有：
g(0)=f(z0)e−iθ0=s g(0) = f(z_0) e^{-i\theta_0} = s g(0)=f(z0)e−iθ0=s
且 g(z)g(z)g(z) 是一个在 z=0z = 0z=0 处使得 ∣g(z)∣|g(z)|∣g(z)∣ 取得最小值 sss 的多项式。
4. 展开 g(z)g(z)g(z)
将 g(z)g(z)g(z) 展开为：
g(z)=bnzn+bn−1zn−1+⋯+bkzk+s g(z) = b_n z^n + b_{n-1} z^{n-1} + \cdots + b_k z^k + s g(z)=bnzn+bn−1zn−1+⋯+bkzk+s
其中 bk≠0b_k \neq 0bk=0 且 k≥1k \geq 1k≥1（因为 g(z)g(z)g(z) 是一个多项式，且 g(0)=sg(0) = sg(0)=s）。
5. 选择 www 使得 ∣g(w)∣<s|g(w)| < s∣g(w)∣<s
令 bk=∣bk∣eiθkb_k = |b_k| e^{i\theta_k}bk=∣bk∣eiθk。考虑 www 使得 w=reiθw = re^{i\theta}w=reiθ 且 rrr 是一个很小的正实数。则：
g(w)=s+∣bk∣rkei(kθ+θk)+h(r)rk+1 g(w) = s + |b_k| r^k e^{i(k\theta + \theta_k)} + h(r) r^{k+1} g(w)=s+∣bk∣rkei(kθ+θk)+h(r)rk+1
其中 h(r)h(r)h(r) 是一个关于 rrr 的多项式。
令 M=maxr∈(0,1]∣h(r)∣≥0 令\ M = \max_{r\in(0,1]}|h(r)| \ge 0 令 M=r∈(0,1]max∣h(r)∣≥0
6. 计算模长
当 r→0+r \to 0^+r→0+ 时：
∣g(w)∣=∣s+h(r)rk+1+∣bk∣rkei(kθ+θk)∣≤∣s+∣bk∣rkei(kθ+θk)∣+Mrk+1 |g(w)|= |s +h(r)r^{k+1}+ |b_k| r^k e^{i(k\theta + \theta_k)}|\le|s+ |b_k| r^k e^{i(k\theta + \theta_k)}|+Mr^{k+1} ∣g(w)∣=∣s+h(r)rk+1+∣bk∣rkei(kθ+θk)∣≤∣s+∣bk∣rkei(kθ+θk)∣+Mrk+1
选择 θ=−θkk−πk\theta = -\frac{\theta_k}{k} - \frac{\pi}{k}θ=−kθk−kπ，则：
kθ+θk=−π k\theta + \theta_k = -\pi kθ+θk=−π
因此：
∣g(w)∣≤s−∣bk∣rk+Mrk+1<s |g(w)| \le s - |b_k| r^k+Mr^{k+1} < s ∣g(w)∣≤s−∣bk∣rk+Mrk+1<s
这与 ∣g(z)∣|g(z)|∣g(z)∣ 在 z=0z=0z=0 处取得最小值 sss 矛盾。