26考研|数学分析:重积分

前言

从本专题开始,整个数学分析的学习便进入到了偏以计算为主的主流知识体系内。本章在原来学习求曲边梯形(定积分/一重积分) 过渡到求**曲顶柱体(二重积分)**以及更多维度的计算之中。在学习计算的过程中,更应该注意对于积分区域的理解,注意灵活运用积分变换方法,使得积分的计算更为便利。

21.1二重积分的概念

本小节作为二重积分的伊始,首先介绍了二重积分出现的几何背景 ,进而给出其严格定义,在学习过程中,要注意理解二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积,只有当f(x,y)=1,即被积函数为1时,所求积分才为底面的面积。

21.2直角坐标系下二重积分的计算

本小节开始着手正式进行到积分的计算,首先从最简单的直角坐标系中的计算开始,将被积分区域分为x型区域 以及y型区域,在规划好的区域上面进行计算,便利二重积分计算。

21.3二重积分的变量变换

在二重积分的计算过程中,往往会出现两个困境------++①被积函数复杂,无法进行拆解与分析;②积分区域繁琐,被分成x型区域与y型区域仍然难以计算。++ 因此,本小节开始运用变量变换的方法对复杂的重积分进行合理变化,使其能够被更容易的求解。本小节的学习过程中,要注意雅可比行列式J 在计算过程中的重要作用,千万不能被忽略,否则题目的计算将出现偏颇。同时,本章的一个重难点变为极坐标下的二重积分计算 ,这一部分考频极高,必须进行高度重视。注意变换方法的运用,且外,变换一旦进行:被积函数、积分区域、雅可比行列式三者都需要被考虑,缺一不可。

21.4三重积分

在二重积分之后,三重积分的学习可以完全进行类比,其仍然可以在积分区域内按照**"先二后一"、"先一后二"** 两种积分方法进行分别计算,此外,为了便利求解方法,还可以对三重积分进行进一步变量变换 ,其中常用的柱坐标系变换 以及球坐标系变换应该牢固掌握。

课本经典习题分析

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