斐波那契数（快速幂计算的推理过程）

算法题目: 509. 斐波那契数
文章中存在些许公式，建议 PC 端打开观感更佳

思路

方阵（行列数相等的矩阵）快速幂

解题过程

1. 解析斐波那契数列

   • 已知斐波那契数列：

     2ex F(n-1)+F(n-2), &当\ n\ >=\ 2 \end{cases} F(n)=⎩ ⎨ ⎧ n,F(n−1)+F(n−2),当 n < 2当 n >= 2

   • 我们分析 $F\; (\; n\; )\; =\; F\; (\; n\; -\; 1\; )\; +\; F\; (\; n\; -\; 2\; )\; F(n)=F(n-1)+F(n-2)$F(n)=F(n−1)+F(n−2)部分，根据表达式我们可以得到：

     $$$$ F ( n ) = 1 1 F ( n − 1 ) F ( n − 2 ) \begin{bmatrix} F(n) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix} F(n)=11F(n−1)F(n−2)

   • 通过上述的分析结果，如果想要实现递推，则需要将左右部分演化为相同的规则：

     $$即$$ F ( n ) F ( n − 1 ) 与 F ( n − 1 ) F ( n − 2 ) 的关系 即 \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \\ \end{bmatrix} 与 \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix} 的关系 即F(n)F(n−1)与F(n−1)F(n−2)的关系

   • 很简单的计算出： $F\; (\; n\; -\; 1\; )\; =\; 1\; \ast \; F\; (\; n\; -\; 1\; )\; +\; 0\; \ast \; F\; (\; n\; -\; 2\; )\; F(n-1)=1*F(n-1)+0*F(n-2)$F(n−1)=1∗F(n−1)+0∗F(n−2)

     $$即$$ F ( n − 1 ) = 1 0 F ( n − 1 ) F ( n − 2 ) 即 \begin{bmatrix} F(n-1) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix} 即F(n−1)=10F(n−1)F(n−2)

   • 所以可以得出：

     $$$$ F ( n ) F ( n − 1 ) = 1 1 1 0 F ( n − 1 ) F ( n − 2 ) \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \\ \end{bmatrix} F(n)F(n−1)=1110F(n−1)F(n−2)

   • 可以递推出公式：

     $$$$ F ( n ) F ( n − 1 ) = 1 1 1 0 . . . 1 1 1 0 F ( 1 ) F ( 0 ) \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}... \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(1) \\ F(0) \\ \end{bmatrix} F(n)F(n−1)=1110...1110F(1)F(0)

   • 相当于需要计算 $M\; n\; -\; 1\; M^\{n-1\}$Mn−1，其中方阵 $M\; M$M为：

     $$M\; =$$ 1 1 1 0 M=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} M=1110

2. 快速幂的计算方式
   • 假设计算 $a\; n\; a^n$an，令 $m\; m$m为 $n\; n$n使用二进制表示的最高有效位
   • 已知 $n\; >\; >\; k\; n>>k$n>>k为右移操作，且 n & 1=1时表示最低位为 $1\; 1$1
   • 所以如果 (n>>k) & 1=1则表示第 $k\; +\; 1\; k+1$k+1位为1，否则为 $0\; 0$0
   • 则：
     nanan=(n & 1)∗20+((n>>1) & 1)∗21+...+((n>>m) & 1)∗2m=a(n & 1)∗20+((n>>1) & 1)∗21+...+((n>>m) & 1)∗2m=a(n & 1)∗20∗a((n>>1) & 1)∗21∗...∗a((n>>m) & 1)∗2m
   • 继续对计算进行拆分
     • 根据上述公式可以得出： an=Sm=i=0∏ma((n>>i) & 1)∗2i
     • 当 (n>>i) & 1=0，则 $S\; i\; =\; S\; i\; -\; 1\; S\_i=S\_\{i-1\}$Si=Si−1
     • 当 (n>>i) & 1=1，则 $S\; i\; =\; S\; i\; -\; 1\; \ast \; a\; 2\; i\; S\_i=S\_\{i-1\}*a^\{2^i\}$Si=Si−1∗a2i
     • 其中 $a\; 2\; i\; a^\{2^i\}$a2i为当前项，所以只需要每次迭代完计算下一项即可：
       • 初始时第一项为 $a\; 2\; 0\; a^\{2^\{0\}\}$a20，即 $a\; a$a自身，所以 $A\; 0\; =\; a\; A\_0=a$A0=a
       • 计算 $a\; 2\; i\; +\; 1\; =\; a\; 2\; i\; \ast \; 2\; =\; (\; a\; 2\; i\; )\; 2\; a^\{2^\{i+1\}\}=a^\{2^\{i\}*2\}=(a^\{2^\{i\}\})^2$a2i+1=a2i∗2=(a2i)2，即 $A\; i\; +\; 1\; =\; A\; i\; \ast \; A\; i\; A\_\{i+1\}=A\_i*A\_i$Ai+1=Ai∗Ai
     • 定义迭代初始值：以本题为例，则为 $2\; \ast \; 2\; 2*2$2∗2的单位矩阵（对角线全为 $1\; 1$1其余全为 $0\; 0$0的矩阵），因为单位矩阵乘以相同行列的方阵结果为对应的方阵，即：
       $$S\; -\; 1\; =$$ 1 0 0 1 S_{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} S−1=1001
     • 以 $n\; >\; >\; i\; n>>i$n>>i作为是否合法的条件进行迭代：
       • 计算当前迭代值：
         • 当 ((n>>i) & 1=1，则 $S\; i\; =\; S\; i\; -\; 1\; \ast \; A\; i\; S\_i=S\_\{i-1\}*A\_i$Si=Si−1∗Ai
       • 计算下一项的值： $A\; i\; +\; 1\; =\; A\; i\; \ast \; A\; i\; A\_\{i+1\}=A\_i*A\_i$Ai+1=Ai∗Ai
       • i++，不过可以直接通过n >>= 1修改 $n\; n$n，同时将判断条件也换为 $n\; n$n

复杂度

• 时间复杂度: $O\; (\; l\; o\; g\; n\; )\; O(log\backslash \; n)$O(log n)
• 空间复杂度: $O\; (\; 1\; )\; O(1)$O(1)

// 快速幂 Exponentiation by Squaring
class EBS {
  result = null;
  constructor() {
    if (new.target === EBS) {
      throw Error("请使用派生类");
    }
  }
  init() {
    throw Error("请重写init方法");
  }
  multiply() {
    throw Error("请重写multiply方法");
  }
  calculate(a, n) {
    // 获取单位值：数字为1，矩阵则为单位矩阵
    // 单位矩阵需要手动设置方阵的阶数
    let result = this.result === null ? this.init() : this.result;
    while (n) {
      if (n & 1) {
        result = this.multiply(result, a);
      }
      n >>= 1;
      a = this.multiply(a, a);
    }
    return (this.result = result);
  }
}

// 方阵（行列数相等的矩阵）快速幂
class MatrixEBS extends EBS {
  #max = 0;
  #initArray() {
    return new Array(this.#max).fill(0).map(() => new Array(this.#max).fill(0));
  }
  // 定义单位矩阵：即对角线全为1其余全为0的矩阵
  init(max) {
    this.#max = max;
    const result = this.#initArray();
    for (let n = 0; n < max; n++) result[n][n] = 1;
    return (this.result = result);
  }
  // 计算a*b：方阵a和b为相同的行列数
  multiply(a, b) {
    const c = this.#initArray();
    const max = this.#max;
    for (let i = 0; i < max; i++) {
      for (let j = 0; j < max; j++) {
        let sums = 0;
        for (let k = 0; k < max; k++) {
          sums += a[i][k] * b[k][j];
        }
        c[i][j] = sums;
      }
    }
    return c;
  }
}

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var fib = function (n) {
  if (n <= 1) return n;
  // 先计算 [[1, 1], [1, 0]] 的 n-1 次幂
  const ebs = new MatrixEBS();
  const M = [
    [1, 1],
    [1, 0],
  ];
  ebs.init(M.length);
  const result = ebs.calculate(M, n - 1);
  // 再乘以[[1], [0]]，相当于直接取其第一行第一列的值
  return result[0][0];
};