线性代数上

文章目录

- - 线性代数知识整理
  - - 一、求行列式
    - - [1、套公式](#1、套公式)
      - 2、利用性质，化为可套公式
      - 3、抽象行列式
      - 4、抽象向量
    - 二、代数余子式的线性组合
    - [三、求 A n A^n An](#三、求 A n A^n An)
    - 四、证明A可逆
    - 五、求A的逆
    - 六、求秩
    - 七、线性表示的判定
    - 八、线性无关
    - 九、求极大线性无关组
    - 十、等价向量组

线性代数知识整理

一、求行列式

1、套公式

（1）二阶、三阶行列式

∣ 1 4 5 2 ∣ \left|\begin {array}{c} 1 &4 \\ 5 &2 \\ \end{array}\right| 1542 = 1 * 2 - 4 * 5 = -18

∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \left|\begin {array}{c} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \\ \end{array}\right| 147258369 = 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 - 3 * 5 * 7 - 2 * 4 * 9 - 1 * 6 * 8 = 0

（2）三角行列式

主对角线行列式

∣ a 11 a 12 ... a 1 n 0 a 22 ... a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a110⋮0a12a22⋮0......⋱...a1na2n⋮ann = ∣ a 11 0 ... 0 a 21 a 22 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a11a21⋮an10a22⋮an2......⋱...00⋮ann = ∣ a 11 0 ... 0 0 a 22 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a110⋮00a22⋮0......⋱...00⋮ann = ∏ i = 1 n a i i \prod_{i=1}^{n} a_{ii} ∏i=1naii
副对角线行列式

∣ a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 ... 0 ∣ = ∣ 0 0 ... a 1 n 0 0 ... a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ = ∣ 0 0 ... a 1 n 0 0 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 ... 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ∏ i = 1 n a i , n − i + 1 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i=1}^{n} a_{i,n-i+1} a11a21⋮an1a12a22⋮0......⋱...a1n0⋮0 = 00⋮an100⋮an2......⋱...a1na2n⋮ann = 00⋮an100⋮0......⋱...a1n0⋮0 =(−1)2n(n−1)i=1∏nai,n−i+1

（3）行和相等

D = ∣ a b c b c a c a b ∣ D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} D= abcbcacab

利用行和相等的性质，将第2、3列加到第1列： D = ∣ a + b + c b c a + b + c c a a + b + c a b ∣ D = \begin{vmatrix} a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b \end{vmatrix} D= a+b+ca+b+ca+b+cbcacab
提出第1列的公因子 ((a+b+c))： D = ( a + b + c ) ∣ 1 b c 1 c a 1 a b ∣ D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} D=(a+b+c) 111bcacab
进行行变换（( r 2 r_2 r2 - r 1 r_1 r1, r 3 r_3 r3 - r 1 r_1 r1)）： D = ( a + b + c ) ∣ 1 b c 0 c − b a − c 0 a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c \end{vmatrix} D=(a+b+c) 100bc−ba−bca−cb−c
按第1列展开计算： D = ( a + b + c ) ⋅ 1 ⋅ ∣ c − b a − c a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} c-b & a-c \\ a-b & b-c \end{vmatrix} D=(a+b+c)⋅1⋅ c−ba−ba−cb−c
计算二阶行列式： D = ( a + b + c ) $( c - b ) ( b - c ) - ( a - c ) ( a - b )$ D = (a+b+c)\left $(c-b)(b-c) - (a-c)(a-b)\\right$ D=(a+b+c) $(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)$
化简最终结果： D = − ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) D = -(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) D=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

（4）爪型行列式

利用斜爪消除竖爪或平爪

D = ∣ 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} D= 1111120010301004

核心思路利用斜爪（第2行第2列、第3行第3列、第4行第4列的非零元素）消除横爪（第一行除首元素外的元素），通过行变换将行列式转化为更简单的形式。

利用斜爪主元消除第一行的横爪元素对第一行进行行变换，减去各行与斜爪主元比值的乘积，即： r 1 = r 1 − 1 2 r 2 − 1 3 r 3 − 1 4 r 4 r_1 = r_1 - \frac{1}{2}r_2 - \frac{1}{3}r_3 - \frac{1}{4}r_4 r1=r1−21r2−31r3−41r4

变换后行列式变为： D = ∣ − 1 12 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \begin{vmatrix} -\frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} D= −121111020000300004

计算下三角行列式的值此时行列式为下三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积： D = − 1 12 × 2 × 3 × 4 D = -\frac{1}{12} \times 2 \times 3 \times 4 D=−121×2×3×4 = -2

（5）范德蒙德行列式
V n ( x 1 , x 2 , ... , x n ) = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( x j − x i ) V_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{\substack{1 \leq i \leq j \leq n}} (x_j - x_i) Vn(x1,x2,...,xn)= 1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋮xnn−1 =1≤i≤j≤n∏(xj−xi)

特征：第 i 行( i = 1 , 2 ... , n i = 1,2\dots,n i=1,2...,n) 元素是 ( x 1 , x 2 , , x n x_1, x_2, , x_n x1,x2,,xn) 的 i - 1次幂，呈现 "幂次递增" 的三角结构

（6）按某一行(列)展开
∣ A ∣ = { a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n = ∑ j = 1 n a i j A i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) , a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j = ∑ i = 1 n a i j A i j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) . |A| = \begin{cases} a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \ (i = 1, 2, \cdots, n), \\ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \ (j = 1, 2, \cdots, n). \end{cases} ∣A∣={ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∑j=1naijAij (i=1,2,⋯,n),a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=∑i=1naijAij (j=1,2,⋯,n).

（7）拉普拉斯展开式（分块矩阵求行列式）

设 A \boldsymbol{A} A 为 m m m 阶矩阵， B \boldsymbol{B} B 为 n n n 阶矩阵，则

∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ , ∣ O A B O ∣ = ∣ C A B O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ . \begin{align*} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert, \\ \\ \begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{vmatrix} = (-1)^{mn}\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert. \end{align*} AOOB OBAO = AOCB = ACOB =∣A∣∣B∣,= CBAO = OBAC =(−1)mn∣A∣∣B∣.

所谓 ( − 1 ) m n (-1)^{mn} (−1)mn即副对角线元素换到主对角线上，交换的次数

2、利用性质，化为可套公式

性质1：行列互换，其值不变，即 ∣ A ∣ = ∣ A T ∣ \vert\boldsymbol{A}\vert = \vert\boldsymbol{{A^T}}\vert ∣A∣=∣AT∣

性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子k(k ≠ 0)，则k可提到行列式外面，即

∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ k a i 1 k a i 2 ... k a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ = k ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ... a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \dots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a11⋮kai1⋮an1a12⋮kai2⋮an2.........a1n⋮kain⋮ann =k a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2.........a1n⋮ain⋮ann

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和，即

∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + b i 1 a i 2 + b i 2 ... a i n + b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ... a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b i 1 b i 2 ... b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \dots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \dots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a11⋮ai1+bi1⋮an1a12⋮ai2+bi2⋮an2.........a1n⋮ain+bin⋮ann = a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2.........a1n⋮ain⋮ann + a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2.........a1n⋮bin⋮ann

性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

3、抽象行列式

一般使用 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \vert\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\vert=\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert ∣AB∣=∣A∣∣B∣

【例】 α 1 , α 2 , α 3 均为 3 维列向量，已知 A = $α 1 , α 2 , α 3$ , B = $α 1 - α 2 + 2 α 3 , 2 α 1 + 3 α 2 - 5 α 3 , α 1 + 2 α 2 - α 3$ 且 ∣ A ∣ = 2 ，则 ∣ B − A ∣ = 10 ‾ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 均为 3 维列向量，已知 \boldsymbol{A} = $\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3$ , \quad \boldsymbol{B} = $\\boldsymbol{\\alpha}_1 - \\boldsymbol{\\alpha}_2 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_3,\\ 2\\boldsymbol{\\alpha}_1 + 3\\boldsymbol{\\alpha}_2 - 5\\boldsymbol{\\alpha}_3,\\ \\boldsymbol{\\alpha}_1 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_2 - \\boldsymbol{\\alpha}_3$ 且 |\boldsymbol{A}| = 2，则 |\boldsymbol{B} - \boldsymbol{A}| = \boldsymbol{\underline{10}} α1,α2,α3均为3维列向量，已知A= $α1,α2,α3$ ,B= $α1-α2+2α3, 2α1+3α2-5α3, α1+2α2-α3$ 且∣A∣=2，则∣B−A∣=10

∣ B − A ∣ = ∣ − α 2 + 2 α 3 , 2 α 1 + 2 α 2 − 5 α 3 , α 1 + 2 α 2 − α 3 ∣ = ( ∗ ) ∣ $α 1 , α 2 , α 3$ $0 2 1 - 1 2 2 2 - 5 - 2$ ∣ |\boldsymbol{B} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} -\boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3, & 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - 5\boldsymbol{\alpha}_3, & \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3 \end{vmatrix} \stackrel{(*)}{=} \left| $\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3$ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -2 \end{bmatrix} \right| ∣B−A∣= −α2+2α3,2α1+2α2−5α3,α1+2α2−α3 =(∗) $α1,α2,α3$ 0−1222−512−2

= ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣ ∣ 0 2 1 − 1 2 2 2 − 5 − 2 ∣ = 5 = |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 |\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -2 \end{vmatrix} = 5 =∣α1,α2,α3∣ 0−1222−512−2 =5

4、抽象向量

例如 ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣ = 5 |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 | = 5 ∣α1,α2,α3∣=5 求 $α 1 + α 2 , α 2 - α 3 , α 3 - α 1$ $\\boldsymbol{\\alpha}_1 + \\boldsymbol{\\alpha}_2 ,\\ \\boldsymbol{\\alpha}_2 - \\boldsymbol{\\alpha}_3 ,\\ \\boldsymbol{\\alpha}_3 - \\boldsymbol{\\alpha}_1$ $α1+α2, α2-α3, α3-α1$

方法一：利用行列式性质

方法二：化矩阵之积

$α 1 , α 2 , α 3$ ∣ 1 0 − 1 1 1 0 0 − 1 1 ∣ $\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3$ \left|\begin {array}{c} 1 &0 &-1 \\ 1 &1 &0 \\ 0 &-1 &1 \\ \end{array}\right| $α1,α2,α3$ 11001−1−101

二、代数余子式的线性组合

设行列式 ( D ) 为：

D = ∣ 1 − 3 1 − 2 2 − 5 − 2 − 2 0 − 4 5 1 − 3 9 − 6 7 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7 \end{vmatrix} D= 120−3−3−5−491−25−6−2−217 ，其中 ( M 3 j M_{3j} M3j ) 表示 ( D ) 中第 3 行第 ( j ) 列元素的余子式 （j = 1,2,3,4 ），求 M 31 + 3 M 32 − 2 M 33 + 2 M 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} M31+3M32−2M33+2M34 的值。

方法一：

M 31 + 3 M 32 − 2 M 33 + 2 M 34 = A 31 − 3 A 32 − 2 A 33 − 2 A 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} = A_{31} - 3A_{32} - 2A_{33} - 2A_{34} M31+3M32−2M33+2M34=A31−3A32−2A33−2A34

即求 ∣ 1 − 3 1 − 2 2 − 5 − 2 − 2 1 − 3 − 2 − 2 − 3 9 − 6 7 ∣ \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 & -2 \\ -3 & 9 & -6 & 7 \end{vmatrix} 121−3−3−5−391−2−2−6−2−2−27 的值，值为-3

方法二 ：求 A ∗ A^* A∗

A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) = ∣ A ∣ A − 1 \boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} = |A|A^{-1} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann =∣A∣A−1

三、求 A n A^n An

方法一 ：若r(A)=1,A可以写作 α β T αβ^T αβT, A n = α β T α β T ⋅ ⋅ ⋅ α β T = ( ( t r ( A ) ) n − 1 A A^n = αβ^Tαβ^T···αβ^T = ((tr(A))^{n-1}A An=αβTαβT⋅⋅⋅αβT=((tr(A))n−1A

方法二 ：相似对角化， P − 1 A P = Λ = > A n = P Λ n P − 1 P^{-1}AP = Λ => A^n = PΛ^nP^{-1} P−1AP=Λ=>An=PΛnP−1

方法三 ： ∣ A 0 0 B ∣ n = ∣ A n 0 0 B n ∣ \left|\begin {array}{c} A &0 \\ 0 &B \\ \end{array}\right| ^ n = \left|\begin {array}{c} A^n &0 \\ 0 &B^n \\ \end{array}\right| A00B n= An00Bn

方法四 ：数学归纳法，如求 ∣ 0 1 0 − 1 0 1 0 1 0 ∣ \left|\begin {array}{c} 0 &1 &0 \\ -1 &0 &1 \\ 0 &1 &0 \\ \end{array}\right| 0−10101010

四、证明A可逆

|A| = 0

<=> A的列向量线性无关

<=> Ax=0只有零解

<=> A没有0特征值

<=> p+q=n（正负惯性指数）

五、求A的逆

1、定义法

已知矩阵满足的等式（如幂等式），通过构造 ( A B = E \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E} AB=E ) 求逆

【例】

已知 A 2 = E ，求 ( A + 2 E ) − 1 \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{E} ，求 (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E})^{-1} A2=E，求(A+2E)−1

由 A 2 − E = 0 \boldsymbol{A}^2 - \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0} A2−E=0，因式分解得： A 2 − E = ( A + 2 E ) ( A − 2 E ) + 3 E = 0 \boldsymbol{A}^2 - \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E}) + 3\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0} A2−E=(A+2E)(A−2E)+3E=0

调整后构造 A B = E \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E} AB=E：

( A + 2 E ) ⋅ 2 E − A 3 = E (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E}) \cdot \frac{2\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}{3} = \boldsymbol{E} (A+2E)⋅32E−A=E

因此 ( A + 2 E ) − 1 = 2 E − A 3 (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E})^{-1} = \frac{2\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}{3} (A+2E)−1=32E−A

2、初等变换

( A ∣ E ) → 初等行变换 ( E ∣ A − 1 ) (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}) (A∣E)初等行变换 (E∣A−1)

3、公式

二阶矩阵求逆公式：设二阶矩阵为 A = ( a b c d ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} A=(acbd) 若其行列式不等于0（即矩阵可逆），则其逆矩阵为： A − 1 = 1 a d − b c ( d − b − c a ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} A−1=ad−bc1(d−c−ba)

分块矩阵求逆

( A 0 0 B ) − 1 = ( A − 1 0 0 B − 1 ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{pmatrix} (A00B)−1=(A−100B−1)

( 0 A B 0 ) − 1 = ( 0 B − 1 A − 1 0 ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix} (0BA0)−1=(0A−1B−10)

六、求秩

方法一：定义法

设A是m×n矩阵，若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式（如果有的话）全为零，则r(A)=k

方法二：化行阶梯矩阵

方法三：线性相关性

方法四：秩公式

设 A \boldsymbol{A} A 为矩阵，以下是矩阵秩 r ( A r(\boldsymbol{A} r(A) 的常用性质

① 0 ≤ r ( A ) ≤ min ⁡ { m , n } 0 \leq r(\boldsymbol{A}) \leq \min\{m, n\} 0≤r(A)≤min{m,n}

② r ( k A ) = r ( A ) ( k ≠ 0 ) r(k\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}) \quad (k \neq 0) r(kA)=r(A)(k=0)

③ r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(\boldsymbol{AB}) \leq \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

④对同型矩阵A 、B

r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \leq r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) r(A+B)≤r(A)+r(B)

⑤ r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 , 其中 A 为 n ( n ≥ 2 ) 阶方阵 0 , r ( A ) < n − 1 r(\boldsymbol{A}^*) = \begin{cases} n, & r(\boldsymbol{A}) = n \quad \\ 1, & r(\boldsymbol{A}) = n - 1 \quad ,其中A为n(n≥2)阶方阵\\ 0, & r(\boldsymbol{A}) < n - 1 \quad \end{cases} r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧n,1,0,r(A)=nr(A)=n−1,其中A为n(n≥2)阶方阵r(A)<n−1

⑥设 A \boldsymbol{A} A 是 m × n m \times n m×n矩阵， P \boldsymbol{P} P （m阶）、 Q \boldsymbol{Q} Q（ n 阶）是可逆矩阵，则：
r ( A ) = r ( P A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{PA}) = r(\boldsymbol{AQ}) = r(\boldsymbol{PAQ}) r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ 若 A m × n B n × s = O ，则 r ( A ) + r ( B ) ≤ n 若A_{m×n}B_{n×s}=\boldsymbol{O}，则r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) \leq n 若Am×nBn×s=O，则r(A)+r(B)≤n

⑧ r ( A ) = r ( A T ) = r ( A T A ) = r ( A A T ) r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}^\text{T}) = r(\boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\text{T}) r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)

七、线性表示的判定

定义：

若向量β能表示成向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1,α2,⋅⋅⋅，αm的线性组合，即存在m个数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k m k_1,k_2,···，k_m k1,k2,⋅⋅⋅，km，使得 β = k 1 α 1 , k 2 α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k m α m β = k_1α_1,k_2α_2,···，k_mα_m β=k1α1,k2α2,⋅⋅⋅，kmαm,则称向量β能被向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1,α2,⋅⋅⋅，αm线性表示

<=>秩 r( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1,α2,⋅⋅⋅，αm) = r( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m , β α_1,α_2,···，α_m,β α1,α2,⋅⋅⋅，αm,β)

<=>方程组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1,α2,⋅⋅⋅，αmx = β有解

<= α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1,α2,⋅⋅⋅，αm线性无关， α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m ， β α_1,α_2,···，α_m，β α1,α2,⋅⋅⋅，αm，β线性相关

<= m个m维 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1,α2,⋅⋅⋅，αm线性无关，任意m维β可被 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1,α2,⋅⋅⋅，αm唯一表示

【例】

向量的线性表示综合应用已知向量组： α 1 = ( 1 2 1 ) , α 2 = ( 1 1 0 ) , α 3 = ( 2 3 1 ) , β = ( 3 4 1 ) \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} α1= 121 ,α2= 110 ,α3= 231 ,β= 341

回答下列问题：

判断向量 β \boldsymbol{\beta} β能否由向量组 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3线性表示？若能，写出一个线性表示式。
利用秩的关系验证第1题的结论。
若存在向量 γ \boldsymbol{\gamma} γ，使得 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1,α2,γ线性无关，且 α 1 , α 2 , γ , β \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta} α1,α2,γ,β线性相关，证明 β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1,α2,γ线性表示。

【解】

判断 β \boldsymbol{\beta} β能否由 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3线性表示假设 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 \boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 β=k1α1+k2α2+k3α3，展开得方程组： { k 1 + k 2 + 2 k 3 = 3 2 k 1 + k 2 + 3 k 3 = 4 k 1 + 0 k 2 + k 3 = 1 \begin{cases} k_1 + k_2 + 2k_3 = 3 \\ 2k_1 + k_2 + 3k_3 = 4 \\ k_1 + 0k_2 + k_3 = 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧k1+k2+2k3=32k1+k2+3k3=4k1+0k2+k3=1 对增广矩阵作初等行变换： ( 1 1 2 3 2 1 3 4 1 0 1 1 ) → ( 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 ) \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) 121110231341 → 100010110120 方程组有解（无穷多解），取 k 3 = 0 k_3 = 0 k3=0，得 k 1 = 1 , k 2 = 2 k_1 = 1, k_2 = 2 k1=1,k2=2，故一个线性表示式为： β = α 1 + 2 α 2 + 0 α 3 \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + 0\boldsymbol{\alpha}_3 β=α1+2α2+0α3
用秩的关系验证构造矩阵：向量组矩阵： A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) A=(α1,α2,α3) 增广矩阵： B = ( α 1 , α 2 , α 3 , β ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}) B=(α1,α2,α3,β) 由第1题的行变换结果可知： r ( A ) = 2 , r ( B ) = 2 r(\boldsymbol{A}) = 2, \quad r(\boldsymbol{B}) = 2 r(A)=2,r(B)=2 根据线性表示的等价条件： r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = r ( α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}) = 2 r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β)=2 故 β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3线性表示。
证明 β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1,α2,γ线性表示已知条件： α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1,α2,γ线性无关 ⟹ r ( α 1 , α 2 , γ ) = 3 \implies r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}) = 3 ⟹r(α1,α2,γ)=3 ， α 1 , α 2 , γ , β \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta} α1,α2,γ,β线性相关 ⟹ r ( α 1 , α 2 , γ , β ) ≤ 3 \implies r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) \leq 3 ⟹r(α1,α2,γ,β)≤3 又因为： r ( α 1 , α 2 , γ ) ≤ r ( α 1 , α 2 , γ , β ) r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}) \leq r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) r(α1,α2,γ)≤r(α1,α2,γ,β) 所以 r ( α 1 , α 2 , γ , β ) = 3 r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) = 3 r(α1,α2,γ,β)=3，即： r ( α 1 , α 2 , γ ) = r ( α 1 , α 2 , γ , β ) r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) r(α1,α2,γ)=r(α1,α2,γ,β) 根据线性表示的等价条件， β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1,α2,γ线性表示。

八、线性无关

证明** α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αn**线性无关

<=> 定义 k 1 α 1 , k 2 α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k n α n = 0 当且仅当 k i 全为 0 k_1α_1,k_2α_2,···，k_nα_n = 0 当且仅当k_i全为0 k1α1,k2α2,⋅⋅⋅，knαn=0当且仅当ki全为0

<=>秩r( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αn) = n

<=>方程 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αnx = 0 只有零解

<=> 任意一个 α i α_i αi均不可由其他α表示

<= | α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1,α2,⋅⋅⋅，αn| ≠ 0

九、求极大线性无关组

①将列向量们组成矩阵A ，作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，并确定r(A)

②按列找出一个秩为r(A)的子矩阵，即为一个极大线性无关组

【例】

已知列向量组：
α 1 = ( 1 2 2 3 ) , α 2 = ( 1 1 2 3 ) , α 3 = ( 0 1 0 0 ) , α 4 = ( 2 5 4 6 ) \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} α1= 1223 ,α2= 1123 ,α3= 0100 ,α4= 2546

按以下步骤求该向量组的极大线性无关组：

将列向量组成矩阵并化为行阶梯形，确定矩阵的秩；
根据行阶梯形矩阵找出一个极大线性无关组。

【解】

将列向量按顺序组成矩阵 A \boldsymbol{A} A：
A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = ( 1 1 0 2 2 1 1 5 2 2 0 4 3 3 0 6 ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & 0 & 4 \\ 3 & 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} A=(α1,α2,α3,α4)= 1223112301002546

对矩阵作初等行变换：
( 1 1 0 2 2 1 1 5 2 2 0 4 3 3 0 6 ) → r 2 − 2 r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − 3 r 1 ( 1 1 0 2 0 − 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) → − r 2 ( 1 1 0 2 0 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \begin{align*} &\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & 0 & 4 \\ 3 & 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow $\\substack{r_2-2r_1\\\\r_3-2r_1 \\\\ r_4-3r_1}$ {} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow\[\]{-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} 1223112301002546 r2−2r1r3−2r1r4−3r1 10001−10001002100 −r2 100011000−1002−100

行阶梯形矩阵有 2个非零行 ，因此矩阵的秩 r ( A ) = 2 r(\boldsymbol{A}) = 2 r(A)=2。

在行阶梯形矩阵中，非零行的首个非零元素（主元）所在的列对应原矩阵的列向量，构成极大线性无关组。

观察行阶梯形矩阵：

第1个主元在第1列
第2个主元在第2列

因此，原向量组中对应的列向量 α 1 , α 2 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 α1,α2 构成一个极大线性无关组（选法不唯一）。

十、等价向量组

若

（Ⅰ） α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α s α_1,α_2,···，α_s α1,α2,⋅⋅⋅，αs

（Ⅱ） β 1 , β 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， β t β_1,β_2,···，β_t β1,β2,⋅⋅⋅，βt

证明（Ⅰ）（Ⅱ）等价

<=>（Ⅰ）中的向量可由（Ⅱ）表出且r(Ⅰ) = r(Ⅱ)

<=>r(Ⅰ) = r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)

若r(Ⅰ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示

若r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示

应注意等价矩阵和等价向量组的联系和区别

【例】

已知向量组：
（Ⅰ） α 1 = ( 1 0 1 ) , α 2 = ( 1 1 0 ) \text{（Ⅰ）}\quad \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} （Ⅰ）α1= 101 , α2= 110
（Ⅱ） β 1 = ( 0 1 − 1 ) , β 2 = ( 2 1 1 ) , β 3 = ( 1 1 0 ) \text{（Ⅱ）}\quad \boldsymbol{\beta}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{\beta}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{\beta}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} （Ⅱ）β1= 01−1 , β2= 211 , β3= 110

完成下列问题：

证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价；
说明等价向量组与等价矩阵的区别

【解】

构造矩阵 A = ( α 1 , α 2 ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) A=(α1,α2) 并求秩：
A = ( 1 1 0 1 1 0 ) → r 3 − r 1 ( 1 1 0 1 0 − 1 ) → r 3 + r 2 ( 1 1 0 1 0 0 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} A= 101110 r3−r1 10011−1 r3+r2 100110

得 r ( Ⅰ ) = 2 r(\text{Ⅰ}) = 2 r(Ⅰ)=2。

构造矩阵 B = ( β 1 , β 2 , β 3 ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3) B=(β1,β2,β3) 并求秩：
B = ( 0 2 1 1 1 1 − 1 1 0 ) → r 1 ↔ r 2 ( 1 1 1 0 2 1 0 2 1 ) → r 3 − r 2 ( 1 1 1 0 2 1 0 0 0 ) \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2 \\} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} B= 01−1211110 r1↔r2 100122111 r3−r2 100120110

得 r ( Ⅱ ) = 2 r(\text{Ⅱ}) = 2 r(Ⅱ)=2

构造 C = ( α 1 , α 2 , β 1 , β 2 , β 3 ) \boldsymbol{C} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3) C=(α1,α2,β1,β2,β3)，通过行变换得：
r ( C ) = 2 r(\boldsymbol{C}) = 2 r(C)=2

即 r ( Ⅰ , Ⅱ ) = 2 r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ}) = 2 r(Ⅰ,Ⅱ)=2。

结论：

因 r ( Ⅰ ) = r ( Ⅱ ) = r ( Ⅰ , Ⅱ ) = 2 r(\text{Ⅰ}) = r(\text{Ⅱ}) = r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ}) = 2 r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ)=2，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

对比项	等价向量组	等价矩阵
定义	互相可线性表示的向量组	经有限次初等变换可互化的矩阵
核心条件	r ( Ⅰ ) = r ( Ⅱ ) = r ( Ⅰ , Ⅱ ) r(\text{Ⅰ}) = r(\text{Ⅱ}) = r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ}) r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ)	同型且秩相等
维度要求	向量需同维（不一定同个数）	必须同型（行数和列数均相同）
应用场景	线性表示、基变换等	矩阵秩的判定、方程组同解性等

线性代数 上