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线性代数知识整理
一、求行列式
1、 套公式
（1）二阶、三阶行列式
∣ 1 4 5 2 ∣ \left|\begin {array}{c} 1 &4 \\ 5 &2 \\ \end{array}\right| 1542 = 1 * 2 - 4 * 5 = -18
∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \left|\begin {array}{c} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \\ \end{array}\right| 147258369 = 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 - 3 * 5 * 7 - 2 * 4 * 9 - 1 * 6 * 8 = 0
（2） 三角行列式
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主对角线行列式
∣ a 11 a 12 ... a 1 n 0 a 22 ... a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a110⋮0a12a22⋮0......⋱...a1na2n⋮ann = ∣ a 11 0 ... 0 a 21 a 22 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a11a21⋮an10a22⋮an2......⋱...00⋮ann = ∣ a 11 0 ... 0 0 a 22 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a110⋮00a22⋮0......⋱...00⋮ann = ∏ i = 1 n a i i \prod_{i=1}^{n} a_{ii} ∏i=1naii
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副对角线行列式
∣ a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 ... 0 ∣ = ∣ 0 0 ... a 1 n 0 0 ... a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ = ∣ 0 0 ... a 1 n 0 0 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 ... 0 ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ∏ i = 1 n a i , n − i + 1 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i=1}^{n} a_{i,n-i+1} a11a21⋮an1a12a22⋮0......⋱...a1n0⋮0 = 00⋮an100⋮an2......⋱...a1na2n⋮ann = 00⋮an100⋮0......⋱...a1n0⋮0 =(−1)2n(n−1)i=1∏nai,n−i+1
（3）行和相等
D = ∣ a b c b c a c a b ∣ D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} D= abcbcacab
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利用行和相等的性质，将第2、3列加到第1列： D = ∣ a + b + c b c a + b + c c a a + b + c a b ∣ D = \begin{vmatrix} a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b \end{vmatrix} D= a+b+ca+b+ca+b+cbcacab
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提出第1列的公因子 ((a+b+c))： D = ( a + b + c ) ∣ 1 b c 1 c a 1 a b ∣ D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} D=(a+b+c) 111bcacab
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进行行变换（( r 2 r_2 r2 - r 1 r_1 r1, r 3 r_3 r3 - r 1 r_1 r1)）： D = ( a + b + c ) ∣ 1 b c 0 c − b a − c 0 a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c \end{vmatrix} D=(a+b+c) 100bc−ba−bca−cb−c
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按第1列展开计算： D = ( a + b + c ) ⋅ 1 ⋅ ∣ c − b a − c a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} c-b & a-c \\ a-b & b-c \end{vmatrix} D=(a+b+c)⋅1⋅ c−ba−ba−cb−c
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计算二阶行列式： D = ( a + b + c ) [ ( c − b ) ( b − c ) − ( a − c ) ( a − b ) ] D = (a+b+c)\left[(c-b)(b-c) - (a-c)(a-b)\right] D=(a+b+c)[(c−b)(b−c)−(a−c)(a−b)]
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化简最终结果： D = − ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) D = -(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) D=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
（4）爪型行列式
利用斜爪消除竖爪或平爪
D = ∣ 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} D= 1111120010301004
核心思路 利用斜爪（第2行第2列、第3行第3列、第4行第4列的非零元素）消除横爪（第一行除首元素外的元素），通过行变换将行列式转化为更简单的形式。
利用斜爪主元消除第一行的横爪元素 对第一行进行行变换，减去各行与斜爪主元比值的乘积，即： r 1 = r 1 − 1 2 r 2 − 1 3 r 3 − 1 4 r 4 r_1 = r_1 - \frac{1}{2}r_2 - \frac{1}{3}r_3 - \frac{1}{4}r_4 r1=r1−21r2−31r3−41r4
变换后行列式变为： D = ∣ − 1 12 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \begin{vmatrix} -\frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} D= −121111020000300004
计算下三角行列式的值 此时行列式为下三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积： D = − 1 12 × 2 × 3 × 4 D = -\frac{1}{12} \times 2 \times 3 \times 4 D=−121×2×3×4 = -2
（5）范德蒙德行列式
V n ( x 1 , x 2 , ... , x n ) = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( x j − x i ) V_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{\substack{1 \leq i \leq j \leq n}} (x_j - x_i) Vn(x1,x2,...,xn)= 1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋮xnn−1 =1≤i≤j≤n∏(xj−xi)
特征 ：第 i 行( i = 1 , 2 ... , n i = 1,2\dots,n i=1,2...,n) 元素是 ( x 1 , x 2 , , x n x_1, x_2, , x_n x1,x2,,xn) 的 i - 1次幂，呈现 "幂次递增" 的三角结构
（6） 按某一行(列)展开
∣ A ∣ = { a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n = ∑ j = 1 n a i j A i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) , a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j = ∑ i = 1 n a i j A i j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) . |A| = \begin{cases} a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \ (i = 1, 2, \cdots, n), \\ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \ (j = 1, 2, \cdots, n). \end{cases} ∣A∣={ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∑j=1naijAij (i=1,2,⋯,n),a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=∑i=1naijAij (j=1,2,⋯,n).
（7）拉普拉斯展开式（分块矩阵求行列式）
设 A \boldsymbol{A} A 为 m m m 阶矩阵， B \boldsymbol{B} B 为 n n n 阶矩阵，则
∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ , ∣ O A B O ∣ = ∣ C A B O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ . \begin{align*} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert, \\ \\ \begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{vmatrix} = (-1)^{mn}\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert. \end{align*} AOOB OBAO = AOCB = ACOB =∣A∣∣B∣,= CBAO = OBAC =(−1)mn∣A∣∣B∣.
所谓 ( − 1 ) m n (-1)^{mn} (−1)mn即副对角线元素换到主对角线上，交换的次数
2、利用性质，化为可套公式
性质1：行列互换，其值不变，即 ∣ A ∣ = ∣ A T ∣ \vert\boldsymbol{A}\vert = \vert\boldsymbol{{A^T}}\vert ∣A∣=∣AT∣
性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零
性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子k(k ≠ 0)，则k可提到行列式外面，即
∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ k a i 1 k a i 2 ... k a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ = k ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ... a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \dots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a11⋮kai1⋮an1a12⋮kai2⋮an2.........a1n⋮kain⋮ann =k a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2.........a1n⋮ain⋮ann
性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和，即
∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + b i 1 a i 2 + b i 2 ... a i n + b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ... a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b i 1 b i 2 ... b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \dots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \dots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} a11⋮ai1+bi1⋮an1a12⋮ai2+bi2⋮an2.........a1n⋮ain+bin⋮ann = a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2.........a1n⋮ain⋮ann + a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2.........a1n⋮bin⋮ann
性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号
性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变
3、抽象行列式
一般使用 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \vert\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\vert=\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert ∣AB∣=∣A∣∣B∣
【例】 α 1 , α 2 , α 3 均为 3 维列向量，已知 A = [ α 1 , α 2 , α 3 ] , B = [ α 1 − α 2 + 2 α 3 , 2 α 1 + 3 α 2 − 5 α 3 , α 1 + 2 α 2 − α 3 ] 且 ∣ A ∣ = 2 ，则 ∣ B − A ∣ = 10 ‾ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 均为 3 维列向量，已知 \boldsymbol{A} = [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3], \quad \boldsymbol{B} = [\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3,\ 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2 - 5\boldsymbol{\alpha}_3,\ \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3] 且 |\boldsymbol{A}| = 2，则 |\boldsymbol{B} - \boldsymbol{A}| = \boldsymbol{\underline{10}} α1,α2,α3均为3维列向量，已知A=[α1,α2,α3],B=[α1−α2+2α3, 2α1+3α2−5α3, α1+2α2−α3]且∣A∣=2，则∣B−A∣=10
∣ B − A ∣ = ∣ − α 2 + 2 α 3 , 2 α 1 + 2 α 2 − 5 α 3 , α 1 + 2 α 2 − α 3 ∣ = ( ∗ ) ∣ [ α 1 , α 2 , α 3 ] [ 0 2 1 − 1 2 2 2 − 5 − 2 ] ∣ |\boldsymbol{B} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} -\boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3, & 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - 5\boldsymbol{\alpha}_3, & \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3 \end{vmatrix} \stackrel{(*)}{=} \left| [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3] \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -2 \end{bmatrix} \right| ∣B−A∣= −α2+2α3,2α1+2α2−5α3,α1+2α2−α3 =(∗) [α1,α2,α3] 0−1222−512−2
= ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣ ∣ 0 2 1 − 1 2 2 2 − 5 − 2 ∣ = 5 = |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 |\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -2 \end{vmatrix} = 5 =∣α1,α2,α3∣ 0−1222−512−2 =5
4、抽象向量
例如 ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣ = 5 |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 | = 5 ∣α1,α2,α3∣=5 求 [ α 1 + α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 1 ] [\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 ,\ \boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3 ,\ \boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_1 ] [α1+α2, α2−α3, α3−α1]
方法一：利用行列式性质
方法二：化矩阵之积
α 1 , α 2 , α 3 \] ∣ 1 0 − 1 1 1 0 0 − 1 1 ∣ \[\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3\] \\left\|\\begin {array}{c} 1 \&0 \&-1 \\\\ 1 \&1 \&0 \\\\ 0 \&-1 \&1 \\\\ \\end{array}\\right\| \[α1,α2,α3\] 11001−1−101
##### 二、代数余子式的线性组合
设行列式 ( D ) 为：
D = ∣ 1 − 3 1 − 2 2 − 5 − 2 − 2 0 − 4 5 1 − 3 9 − 6 7 ∣ D = \\begin{vmatrix} 1 \& -3 \& 1 \& -2 \\\\ 2 \& -5 \& -2 \& -2 \\\\ 0 \& -4 \& 5 \& 1 \\\\ -3 \& 9 \& -6 \& 7 \\end{vmatrix} D= 120−3−3−5−491−25−6−2−217 ，其中 ( M 3 j M_{3j} M3j ) 表示 ( D ) 中第 3 行第 ( j ) 列元素的**余子式** （j = 1,2,3,4 ），求 M 31 + 3 M 32 − 2 M 33 + 2 M 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} M31+3M32−2M33+2M34 的值。
**方法一**：
M 31 + 3 M 32 − 2 M 33 + 2 M 34 = A 31 − 3 A 32 − 2 A 33 − 2 A 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} = A_{31} - 3A_{32} - 2A_{33} - 2A_{34} M31+3M32−2M33+2M34=A31−3A32−2A33−2A34
即求 ∣ 1 − 3 1 − 2 2 − 5 − 2 − 2 1 − 3 − 2 − 2 − 3 9 − 6 7 ∣ \\begin{vmatrix} 1 \& -3 \& 1 \& -2 \\\\ 2 \& -5 \& -2 \& -2 \\\\ 1 \& -3 \& -2 \& -2 \\\\ -3 \& 9 \& -6 \& 7 \\end{vmatrix} 121−3−3−5−391−2−2−6−2−2−27 的值，值为-3
**方法二** ：求 A ∗ A\^\* A∗
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) = ∣ A ∣ A − 1 \\boldsymbol{A}\^\* = \\begin{pmatrix} A_{11} \& A_{21} \& \\cdots \& A_{n1} \\\\ A_{12} \& A_{22} \& \\cdots \& A_{n2} \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \\\\ A_{1n} \& A_{2n} \& \\cdots \& A_{nn} \\end{pmatrix} = \|A\|A\^{-1} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann =∣A∣A−1
##### 三、求 A n A\^n An
**方法一** ：若r(A)=1,A可以写作 α β T αβ\^T αβT, A n = α β T α β T ⋅ ⋅ ⋅ α β T = ( ( t r ( A ) ) n − 1 A A\^n = αβ\^Tαβ\^T···αβ\^T = ((tr(A))\^{n-1}A An=αβTαβT⋅⋅⋅αβT=((tr(A))n−1A
**方法二** ：相似对角化， P − 1 A P = Λ = \> A n = P Λ n P − 1 P\^{-1}AP = Λ =\> A\^n = PΛ\^nP\^{-1} P−1AP=Λ=\>An=PΛnP−1
**方法三** ： ∣ A 0 0 B ∣ n = ∣ A n 0 0 B n ∣ \\left\|\\begin {array}{c} A \&0 \\\\ 0 \&B \\\\ \\end{array}\\right\| \^ n = \\left\|\\begin {array}{c} A\^n \&0 \\\\ 0 \&B\^n \\\\ \\end{array}\\right\| A00B n= An00Bn
**方法四** ：数学归纳法，如求 ∣ 0 1 0 − 1 0 1 0 1 0 ∣ \\left\|\\begin {array}{c} 0 \&1 \&0 \\\\ -1 \&0 \&1 \\\\ 0 \&1 \&0 \\\\ \\end{array}\\right\| 0−10101010
##### 四、证明A可逆
\|A\| = 0
\<=\> A的列向量线性无关
\<=\> Ax=0只有零解
\<=\> A没有0特征值
\<=\> p+q=n（正负惯性指数）
##### 五、求A的逆
###### 1、定义法
已知矩阵满足的等式（如幂等式），通过构造 ( A B = E \\boldsymbol{AB} = \\boldsymbol{E} AB=E ) 求逆
【例】
已知 A 2 = E ，求 ( A + 2 E ) − 1 \\boldsymbol{A}\^2 = \\boldsymbol{E} ，求 (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E})\^{-1} A2=E，求(A+2E)−1
由 A 2 − E = 0 \\boldsymbol{A}\^2 - \\boldsymbol{E} = \\boldsymbol{0} A2−E=0，因式分解得： A 2 − E = ( A + 2 E ) ( A − 2 E ) + 3 E = 0 \\boldsymbol{A}\^2 - \\boldsymbol{E} = (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E})(\\boldsymbol{A} - 2\\boldsymbol{E}) + 3\\boldsymbol{E} = \\boldsymbol{0} A2−E=(A+2E)(A−2E)+3E=0
调整后构造 A B = E \\boldsymbol{AB} = \\boldsymbol{E} AB=E：
( A + 2 E ) ⋅ 2 E − A 3 = E (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E}) \\cdot \\frac{2\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A}}{3} = \\boldsymbol{E} (A+2E)⋅32E−A=E
因此 ( A + 2 E ) − 1 = 2 E − A 3 (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E})\^{-1} = \\frac{2\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A}}{3} (A+2E)−1=32E−A
###### 2、初等变换
( A ∣ E ) → 初等行变换 ( E ∣ A − 1 ) (\\boldsymbol{A} \\mid \\boldsymbol{E}) \\xrightarrow{\\text{初等行变换}} (\\boldsymbol{E} \\mid \\boldsymbol{A}\^{-1}) (A∣E)初等行变换 (E∣A−1)
###### 3、公式
二阶矩阵求逆公式： 设二阶矩阵为 A = ( a b c d ) \\boldsymbol{A} = \\begin{pmatrix} a \& b \\\\ c \& d \\end{pmatrix} A=(acbd) 若其行列式不等于0（即矩阵可逆），则其逆矩阵为： A − 1 = 1 a d − b c ( d − b − c a ) \\boldsymbol{A}\^{-1} = \\frac{1}{ad - bc} \\begin{pmatrix} d \& -b \\\\ -c \& a \\end{pmatrix} A−1=ad−bc1(d−c−ba)
分块矩阵求逆
( A 0 0 B ) − 1 = ( A − 1 0 0 B − 1 ) \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{A} \& \\boldsymbol{0} \\\\ \\boldsymbol{0} \& \\boldsymbol{B} \\end{pmatrix}\^{-1} = \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{A}\^{-1} \& \\boldsymbol{0} \\\\ \\boldsymbol{0} \& \\boldsymbol{B}\^{-1} \\end{pmatrix} (A00B)−1=(A−100B−1)
( 0 A B 0 ) − 1 = ( 0 B − 1 A − 1 0 ) \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{0} \& \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} \& \\boldsymbol{0} \\end{pmatrix}\^{-1} = \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{0} \& \\boldsymbol{B}\^{-1} \\\\ \\boldsymbol{A}\^{-1} \& \\boldsymbol{0} \\end{pmatrix} (0BA0)−1=(0A−1B−10)
##### 六、求秩
**方法一**：定义法
> 设A是m×n矩阵，若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式（如果有的话）全为零，则r(A)=k
**方法二**：化行阶梯矩阵
**方法三**：线性相关性
**方法四**：秩公式
设 A \\boldsymbol{A} A 为矩阵，以下是矩阵秩 r ( A r(\\boldsymbol{A} r(A) 的常用性质
① 0 ≤ r ( A ) ≤ min { m , n } 0 \\leq r(\\boldsymbol{A}) \\leq \\min\\{m, n\\} 0≤r(A)≤min{m,n}
② r ( k A ) = r ( A ) ( k ≠ 0 ) r(k\\boldsymbol{A}) = r(\\boldsymbol{A}) \\quad (k \\neq 0) r(kA)=r(A)(k=0)
③ r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(\\boldsymbol{AB}) \\leq \\min\\{r(\\boldsymbol{A}), r(\\boldsymbol{B})\\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}
④对同型矩阵**A** 、**B**
r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(\\boldsymbol{A} + \\boldsymbol{B}) \\leq r(\\boldsymbol{A}) + r(\\boldsymbol{B}) r(A+B)≤r(A)+r(B)
⑤ r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 , 其中 A 为 n ( n ≥ 2 ) 阶方阵 0 , r ( A ) \< n − 1 r(\\boldsymbol{A}\^\*) = \\begin{cases} n, \& r(\\boldsymbol{A}) = n \\quad \\\\ 1, \& r(\\boldsymbol{A}) = n - 1 \\quad ,其中A为n(n≥2)阶方阵\\\\ 0, \& r(\\boldsymbol{A}) \< n - 1 \\quad \\end{cases} r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧n,1,0,r(A)=nr(A)=n−1,其中A为n(n≥2)阶方阵r(A)\