1.概念
多目标规划（Multi-Objective Optimization, MOO）是数学规划的一个分支，用于解决同时优化多个相互冲突的目标函数的问题。其核心在于寻找一组"帕累托最优解"（Pareto Optimal Solutions），即在没有其他解能同时改善所有目标的情况下，这些解是最优的。
多目标规划相比前面的单一目标规划，就是目标函数不止一个，前面只有一个目标函数，那么目标函数最小的时候就是答案。但是多目标规划目标函数不止一个，求出的答案也不是每一个目标函数都是最优
常见例题：
物流中心选址，需要同时满足运输成本和建设费用（选址）都较低
投资组合，需要风险尽可能小，收益尽可能大
2.解
1.解的类型
由于目标函数不止一个所以解有三种类型
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| 最优解 | 所有目标函数都取到了最优（几乎不存在） |
| 有效解 | 使至少一个目标函数取到最小值但不是所有（如果是所有就是上一种情况） |
| 满意解 | 主要是从决策者的角度，根据决策者的偏好提出的，有的时候决策者要求低给出的要求不高，只要满足要求就认为可以接受，是满意解 |
对于绝大多数问题，决策者偏好的方案都是有效解
2.求解方法
求解之前要对目标函数去量纲，归一化
补充：
去量纲（无量纲化）
去量纲是将不同量纲或单位的特征转换为统一尺度，消除量纲对模型的影响。
归一化
归一化通常指将数据转换为单位范数或特定比例
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| 方法 | 核心 | 特点 |
| 线性加权法 | 将多个目标函数通过权重加权求和，转化为单目标优化问题。 | * 权重由决策者主观确定，导致结果可能因偏好不同而变化。 * 简单易行，但对权重敏感，可能遗漏非凸解。 |
| 约束法（主要目标法/参考目标法） | 选定一个主要目标优化，其他目标转化为约束条件（设定容许阈值）。 | * 通过调整阈值可生成不同的Pareto解。 * 需明确次要目标的可接受范围，对阈值设定敏感。 |
| 理想点法 | 以各单目标最优值为"理想值"，最小化目标值与理想值的加权平方偏差。 | * 兼顾所有目标与理想值的接近程度，结果更均衡。 * 需预先计算单目标最优值，计算复杂度较高。 |
| 优先级法 | 按目标重要性分层，逐级优化：高优先级目标先最优，低优先级在不劣化高优先级的前提下优化。 | * 严格反映决策者的优先级顺序，但可能牺牲低优先级目标的性能。 * 适用于目标有明确先后次序的场景。 |
其中线性加权法简单常用
线性加权法就是对多目标函数进行加权组合，使其变成单目标规划
step1：确定权系数
step2:写出评价函数
step3:求评价函数最优值
注意：
注意：
1、要将多个目标函数统一 为最大化和最小化问题（不同的加"-"）才可以进行加权组合
2、如果目标函数量纲不同，则需要对其进行标准化再进行加权，标准化的方法一般是且标函数除以某一个常量，该常量是这个目标函数的某个取值，具体取何值可根据经验确定
3、对多目标函数进行加权求和是，权重一般由该领域专家给定
3.例题
决策变量
设二元变量 xi∈{0,1}，其中 xi=1 表示在位置 Ai 建设物流中心（i=1,2,...,8）。
约束条件
1.建设数量限制
2.覆盖人口下限
分析完后可以得到以下模型
然后对目标函数去除量纲并且加权
所以目标函数转化为
化简完成就是
原来的模型也就变成了这个
这个就是典型的线性规划了，用linprog求解
4.补充
敏感性分析概述
敏感性分析用于评估模型输出对输入参数变化的敏感程度，广泛应用于金融、工程、项目管理等领域。通过识别关键变量，帮助决策者优化资源分配或降低风险。
单变量敏感性分析
固定其他参数，仅改变一个输入变量，观察输出结果的变化。适用于参数间独立性较强的场景。
步骤示例：
- 选择目标变量（如净现值NPV）。
- 确定待测试的输入参数（如折现率、成本）。
- 在合理范围内调整单一参数值（如折现率从5%增至10%）。
- 记录输出结果并绘制敏感性曲线。
多变量敏感性分析
同时改变多个输入参数，分析其对输出的综合影响。常用方法包括蒙特卡洛模拟和方差分解法。
蒙特卡洛模拟步骤：
- 定义输入参数的概率分布（如正态分布、均匀分布）。
- 随机生成参数组合并计算输出结果。
- 通过统计方法（如相关系数、回归分析）量化敏感性
像上面用linprog之后就可以输入更多可能的权重，根据结果和需求来看是否是最佳结果