第二章 矩阵

专题一 矩阵的基本运算

1.矩阵的定义

由mxn个数构成的m行n列的数表

称为单位矩阵 ,记作E .

若矩阵A与B有相同的行数和相同的列数 ,则称A,B为同型矩阵

2.矩阵加法的定义

同型矩阵 (行列数分别相同 ),则的和是一个新矩阵 ,其元素为对应位置元素相加 ,即,记作

3.矩阵数乘的定义

设矩阵 是常数,将矩阵的每个元素都乘以k 得到新矩阵 ,这个新矩阵就是 的数乘,记作

4.矩阵乘法的定义

一行乘一列,对应行列数字相乘再相加。C行列=(行×列)

因式分解的公式对矩阵不适用

特别地,当时,

(1)pr:AB=AC,左乘,得B=C

(2)pr:由AB=AC,得A(B-C)=0,

阶矩阵,得,故,即

5.转置的定义

6.对称矩阵与反对称矩阵的定义

7.转置的性质

专题二 矩阵的逆

1.逆的定义

2.逆的性质

3.可逆的充要条件

4.逆的求法

专题三 矩阵的秩

1.k阶子式的定义

2.秩的定义

3.满秩的定义

4.秩的性质

秩小于等于行数和列数

和差的秩小于等于秩的和

乘积的秩小于等于每一个

联立的秩大于等于每一个,小于等于秩的和

乘非零常数秩不变

乘可逆矩阵秩不变

pr:性质三,,故

左乘列满秩或右乘行满秩,秩不变

乘转置矩阵秩不变

乘积为0,秩的和小于等于n

5.秩的求法

行阶梯形:,每行第1个非0的数下面的元素均为0

专题四 伴随矩阵

1.伴随矩阵的定义

注意这是转置的

主对角互换,副对角变号

2.伴随矩阵的性质

其他证明见课本

(1)引入伴随矩阵是为了满足展开定理

总结:

3个n-1次方:

总结:

上标运算可交换:

n代表高次幂,||代表行列式

专题五 初等变换与初等矩阵

1.初等变换的定义

2.初等矩阵的定义

3.初等变换与初等矩阵的性质

证明见课本

4.初等变换与初等矩阵的应用

5.矩阵等价的定义

6.矩阵等价的充要条件

专题六 分块矩阵

1.分块矩阵的加法

2.分块矩阵的数乘

3.分块矩阵的乘法

与矩阵乘法类似

4.分块矩阵的转置

5.分块矩阵的逆

相关推荐
IT_陈寒4 小时前
5个Vue3性能优化技巧,让你的应用提速50% 🚀(附实测对比)
前端·人工智能·后端
小龙报4 小时前
《算法通关指南之C++编程篇(5)----- 条件判断与循环(下)》
c语言·开发语言·c++·算法·visualstudio·学习方法·visual studio
郝学胜-神的一滴4 小时前
C++ STL(标准模板库)深度解析:从基础到实践
linux·服务器·开发语言·c++·算法
kalvin_y_liu4 小时前
微软Agent Framework
人工智能·microsoft
ximy13354 小时前
AI服务器工作之显卡测试
人工智能
孤独野指针*P5 小时前
深度学习之美》读书笔记 - 第一章 & 第二章
人工智能·深度学习
理不为5 小时前
提示词 prompt 快速上手
人工智能·prompt
大象耶5 小时前
Mamba与UNet融合的创新架构方向
论文阅读·人工智能·深度学习·计算机网络·机器学习
刚入坑的新人编程5 小时前
算法训练.17
开发语言·数据结构·c++·算法
遇雪长安5 小时前
深度学习YOLO实战:5、基于YOLO的自动化图像批量检测方案
人工智能·深度学习·yolo