第二章 矩阵

专题一 矩阵的基本运算

1.矩阵的定义

由mxn个数构成的m行n列的数表

称为单位矩阵 ,记作E .

若矩阵A与B有相同的行数和相同的列数 ,则称A,B为同型矩阵

2.矩阵加法的定义

同型矩阵 (行列数分别相同 ),则的和是一个新矩阵 ,其元素为对应位置元素相加 ,即,记作

3.矩阵数乘的定义

设矩阵 是常数,将矩阵的每个元素都乘以k 得到新矩阵 ,这个新矩阵就是 的数乘,记作

4.矩阵乘法的定义

一行乘一列,对应行列数字相乘再相加。C行列=(行×列)

因式分解的公式对矩阵不适用

特别地,当时,

(1)pr:AB=AC,左乘,得B=C

(2)pr:由AB=AC,得A(B-C)=0,

阶矩阵,得,故,即

5.转置的定义

6.对称矩阵与反对称矩阵的定义

7.转置的性质

专题二 矩阵的逆

1.逆的定义

2.逆的性质

3.可逆的充要条件

4.逆的求法

专题三 矩阵的秩

1.k阶子式的定义

2.秩的定义

3.满秩的定义

4.秩的性质

秩小于等于行数和列数

和差的秩小于等于秩的和

乘积的秩小于等于每一个

联立的秩大于等于每一个,小于等于秩的和

乘非零常数秩不变

乘可逆矩阵秩不变

pr:性质三,,故

左乘列满秩或右乘行满秩,秩不变

乘转置矩阵秩不变

乘积为0,秩的和小于等于n

5.秩的求法

行阶梯形:,每行第1个非0的数下面的元素均为0

专题四 伴随矩阵

1.伴随矩阵的定义

注意这是转置的

主对角互换,副对角变号

2.伴随矩阵的性质

其他证明见课本

(1)引入伴随矩阵是为了满足展开定理

总结:

3个n-1次方:

总结:

上标运算可交换:

n代表高次幂,||代表行列式

专题五 初等变换与初等矩阵

1.初等变换的定义

2.初等矩阵的定义

3.初等变换与初等矩阵的性质

证明见课本

4.初等变换与初等矩阵的应用

5.矩阵等价的定义

6.矩阵等价的充要条件

专题六 分块矩阵

1.分块矩阵的加法

2.分块矩阵的数乘

3.分块矩阵的乘法

与矩阵乘法类似

4.分块矩阵的转置

5.分块矩阵的逆

相关推荐
盟接之桥7 小时前
盟接之桥说制造:源头制胜,降本增效:从“盟接之桥”看供应链成本控制的底层逻辑
大数据·网络·人工智能·安全·制造
数据皮皮侠7 小时前
中国绿色制造企业数据(绿色工厂|绿色供应链|绿色园区|绿色产品,2017-2023)
大数据·运维·服务器·人工智能·制造·微信开放平台
天天向上的鹿茸7 小时前
用矩阵实现元素绕不定点旋转
前端·线性代数·矩阵
RFID舜识物联网7 小时前
NFC技术如何破解电子制造领域的效率瓶颈与追溯难题
大数据·人工智能·嵌入式硬件·物联网·安全·制造
l12345sy8 小时前
Day31_【 NLP _1.文本预处理 _(1)文本处理的基本方法】
人工智能·自然语言处理·nlp·文本基本处理·jieba词性标注对照表
Haohao+++9 小时前
Stable Diffusion原理解析
人工智能·深度学习·算法
Joseit11 小时前
AI应用生成平台:数据库、缓存与存储
数据库·人工智能·缓存
QYR_1112 小时前
2025-2031年全球箱体与盒体搬运机器人行业全景报告(含市场规模、竞争格局及投资潜力)
人工智能·市场研究
ideaout技术团队12 小时前
leetcode学习笔记2:多数元素(摩尔投票算法)
学习·算法·leetcode
代码充电宝12 小时前
LeetCode 算法题【简单】283. 移动零
java·算法·leetcode·职场和发展