《算法导论》笔记--归并排序 & 算法原理

归并排序

算法原理:

现在还是沿用牌堆的比喻:

一共两个操作:

1.分解:

现在我们将牌分为两堆,对其中的每一堆都进行 '分为两堆' 这个操作,直到单个堆的元素只有一个

此时每个牌堆都是有序的

2.合并

我们对每两个临近的牌堆(记为A、B)进行:

当前每个牌堆仅一张牌,我们比较A和B的大小,将其中较小的一张牌放在另一张的上面

以此类推,对34、56、78...号牌堆进行这个操作

这样,我们获得了若干个单个都有序的牌堆

接下来,我们继续取临近的两个牌堆(记为A、B),进行:

取出两堆顶上的一张,比较大小,将其中较小的放入手中,重复这个操作(如果此时手中有牌,那么放于上一张的下面),直到至少一堆 已空

那么这时,一共会有3种情况:

1.两堆均空

2.A空

3.B空

对于1,我们继续合并34、56、78...号牌堆,重复这个操作

对于2、3,显然,此时剩余的所有元素一定比单独的这一堆中最大的都大,读者可以自己尝试证明一下(提示:反证法)

那么我们可以将剩余的所有元素都直接按序排在单独这一堆后

(严格证明见下文)

我们继续重复合并操作,直到只剩一堆,那么此时的牌堆就是有序的,排序完成

具体算法实现

我们规定,a为待排序数组,共有n个元素(0 to n-1)

l为目前区间的左端点,r为右端点,mid为中间点

其中mid = l+(r-l)/2 (至于为什么这么做,而不是简单的(l+r)/2,请看下文)

开始时,\(l = 0,r = n-1,mid = l+(r-l)/2\)

我们执行两个操作:

1.分解:令a分为[l,mid]、[mid+1,r]两段,对子段继续按此分解,直到l=r(即单一元素)

2.合并:

我们每次合并[l,mid]、[mid+1,r]两段,保证每段内部都是有序的

也就是说,我们需要一个合并函数,类似:merge(a,l,r,mid)

将[l,mid]记为L,[mid+1,r]记为R,再定义一个辅助数组tmp,用来保存合并完的数组,之后拷贝到数组a

令k为当前tmp的下标,开始时k=0

令i,j为当前L、R的下标,开始时为0

然后:如果L[i]>=R[j],那么tmp[k] = L[i],i--;

否则tmp[k] = R[j],j--;

重复直到至少其中一堆的top < 0(即堆中没有任何数);

随后,我们将剩余的所有元素拷贝至tmp的末尾

等到合并完的区间就等于a时,算法结束, a数组有序;

循环不变式证明

P.S. 这里的证明方式更通俗,《算法导论》给出了另外一种证明

由于分解这一步仅仅相当于分解问题为多个子问题,因此,我们不对这个阶段证明循环不变式

那么,我们列出合并阶段的循环不变式:

记住:在过程中,我们力图维护的,就是其循环不变式

那么,我们其实一直在维护的是tmp数组的有序性

所以,循环不变式为:

tmp[0..k]始终保存L[0..i]、R[0..j]中前k小的数

前提条件:子序列LR均有序

我们开始证明:

1.初始化: 此时tmp中什么也没有,因此符合循环不变式

2.保持:在算法过程中,我们有两个阶段:

  • 一、在两个子序列均非空时,我们每次取L[i]、R[j]中较小的那一个

  • 二、在至少一个为空时,我们将剩余的所有元素直接移动到tmp末尾

    我们挨个证明,

  • 一、若取了\(L[i]、R[j]\)中较小的那一个导致tmp无序,那么说明有一个数\(M>min(L[i]、R[j])\)且在tmp中,而M一定来自L、R其中一个数组;

    若M来自于\(min(L[i]、R[j])\)所在的数组,那么说明此数组无序,于前提不符,所以不存在这样的M,即tmp有序;

    若M来自于\(max(L[i]、R[j])\)所在的数组,那么说明,在选择M的那一轮循环中,M为较小的,因此另一堆剩余的所有元素一定都大于M,M这一堆剩余的所有元素也一定都大于M

    所以之后不会存在一个比M小的数\(min(L[i]、R[j])\)了,与前提不符,所以不存在这样的M;

  • 二、若这个操作导致tmp无序,那么在剩余这一堆中一定存在一个数Q,使得\(Q<tmp[k]\),那么,tmp[k]只可能来自L、R

    如果和Q同堆,那么由于\(Q<tmp[k]\),说明此堆无序,所以不存在Q
    若不同堆,那么说明这一堆剩余所有元素均大于tmp[k],则剩余的堆应该是这一堆,与假设不符;

\(Q.E.D\)

形式化的循环不变式证明:

形式化定义:

设 \(L[1..m]\) 和 \(R[1..p]\) 为有序数组,合并时不变式:
\(temp[1..k]\) 包含 \(L[1..i]\) 和 \(R[1..j]\) 中前 \(k\) 小元素且有序

数学归纳证明:

初始化:\(k=0, i=1, j=1\),空数组满足条件

保持:

若 \(L[i] \leq R[j]\),则 \(L[i]\) 是剩余元素最小者

由归纳假设 \(temp[1..k]\) 有序,追加 \(L[i]\) 仍有序

终止:\(i>m\) 或 \(j>p\) 时,剩余元素直接追加仍有序

为什么是mid = l+(r-l)/2

我们先尝试展开:
\(mid = l+(r-l)/2 = l+0.5r-0.5l = 0.5r+0.5l = 1/2(r+l)\) ;

与直接\(mid = (l+r)/2\)本质上是一致的

那么为什么还要变形呢

想这样一个问题:倘若r、l均取int类型的最大值的一半+1,\(mid = (l+r)/2\)会发生什么呢

显然,\(l+r\)超过了int类型的最大值,会导致溢出

综上,我们选择\(mid = l+(r-l)/2\);

Upt 2025.8.6

GhostSilver

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