【算法】矩阵链乘法的动态规划算法

矩阵链乘法的动态规划算法

定义问题

给定矩阵链 (A1,A2,...,An)( A_1, A_2, \dots, A_n )(A1,A2,...,An)，其中 AiA_iAi 的维度为 (pi−1×pi)( p_{i-1} \times p_i )(pi−1×pi)。
目标是找到计算 (A1A2...An)( A_1A_2 \dots A_n )(A1A2...An) 的最优顺序，使得所需的乘法次数最少。

动态规划表格

定义 m $i$ $j$ m $i$ $j$ m $i$ $j$ 表示子链 (Ai...Aj)( A_i \dots A_j )(Ai...Aj) 的最小乘法次数。
表格 mmm 的大小为 n×nn \times nn×n，其中 m $i$ $j$ m $i$ $j$ m $i$ $j$ 专门对应从 AiA_iAi 到 AjA_jAj 的最小乘法次数。

链长 lll 的作用

链长 lll 代表子链的长度，取值从 2 到 nnn 逐步递增。
链长 l=2l=2l=2 对应两个矩阵相乘，l=3l=3l=3 对应三个矩阵相乘，以此类推直至覆盖完整矩阵链。

表格填充步骤

4.1 初始化

当 i=ji = ji=j 时，子链仅包含一个矩阵，无需进行乘法运算，因此乘法次数为 0，即 m $i$ $i$ =0m $i$ $i$ = 0m $i$ $i$ =0。

4.2 按链长递增填充表格

外层循环：链长 lll 从 2 遍历至 nnn（覆盖所有可能的子链长度）。
中层循环：遍历所有可能的起始位置 iii，取值范围为 111 到 n−l+1n - l + 1n−l+1。
计算结束位置：由起始位置 iii 和链长 lll 可得，j=i+l−1j = i + l - 1j=i+l−1。
内层循环：尝试所有可能的分割点 kkk（i≤k<ji \leq k < ji≤k<j），通过以下公式计算 m $i$ $j$ m $i$ $j$ m $i$ $j$ 的最小值：
m $i$ $j$ =min⁡i≤k<j(m $i$ $k$ +m $k+1$ $j$ +pi−1pkpj)m $i$ $j$ = \min_{i \leq k < j} \left( m $i$ $k$ + m $k+1$ $j$ + p_{i-1}p_k p_j \right)m $i$ $j$ =i≤k<jmin(m $i$ $k$ +m $k+1$ $j$ +pi−1pkpj)

4.3 最终结果

表格中的 m $1$ $n$ m $1$ $n$ m $1$ $n$ 即为整个矩阵链 A1A2...AnA_1A_2 \dots A_nA1A2...An 的最小乘法次数。

链长 lll 的具体计算过程

假设矩阵链长度 n=4n = 4n=4，矩阵维度序列为 p= $p0,p1,p2,p3,p4$ p = $p_0, p_1, p_2, p_3, p_4$ p= $p0,p1,p2,p3,p4$ ，以下是链长 lll 从 2 到 4 的完整计算过程：

5.1 链长 l=2l = 2l=2（两个矩阵相乘）

计算所有相邻矩阵对的最小乘法次数（仅一种分割方式，无需比较）：

m $1$ $2$ =p0p1p2m $1$ $2$ = p_0 p_1 p_2m $1$ $2$ =p0p1p2
m $2$ $3$ =p1p2p3m $2$ $3$ = p_1 p_2 p_3m $2$ $3$ =p1p2p3
m $3$ $4$ =p2p3p4m $3$ $4$ = p_2 p_3 p_4m $3$ $4$ =p2p3p4

5.2 链长 l=3l = 3l=3（三个矩阵相乘）

每个子链有两种分割方式，取计算结果的最小值：

m $1$ $3$ =min⁡(m $1$ $1$ +m $2$ $3$ +p0p1p3,m $1$ $2$ +m $3$ $3$ +p0p2p3)m $1$ $3$ = \min(m $1$ $1$ + m $2$ $3$ + p_0 p_1 p_3, m $1$ $2$ + m $3$ $3$ + p_0 p_2 p_3)m $1$ $3$ =min(m $1$ $1$ +m $2$ $3$ +p0p1p3,m $1$ $2$ +m $3$ $3$ +p0p2p3)

m $2$ $4$ =min⁡(m $2$ $2$ +m $3$ $4$ +p1p2p4,m $2$ $3$ +m $4$ $4$ +p1p3p4)m $2$ $4$ = \min(m $2$ $2$ + m $3$ $4$ + p_1 p_2 p_4, m $2$ $3$ + m $4$ $4$ + p_1 p_3 p_4)m $2$ $4$ =min(m $2$ $2$ +m $3$ $4$ +p1p2p4,m $2$ $3$ +m $4$ $4$ +p1p3p4)

5.3 链长 l=4l = 4l=4（完整矩阵链）

整个矩阵链有三种分割方式，取计算结果的最小值：

m $1$ $4$ =min⁡(m $1$ $1$ +m $2$ $4$ +p0p1p4,m $1$ $2$ +m $3$ $4$ +p0p2p4,m $1$ $3$ +m $4$ $4$ +p0p3p4)m $1$ $4$ = \min( m $1$ $1$ + m $2$ $4$ + p_0 p_1 p_4, m $1$ $2$ + m $3$ $4$ + p_0 p_2 p_4, m $1$ $3$ + m $4$ $4$ + p_0 p_3 p_4 )m $1$ $4$ =min(m $1$ $1$ +m $2$ $4$ +p0p1p4,m $1$ $2$ +m $3$ $4$ +p0p2p4,m $1$ $3$ +m $4$ $4$ +p0p3p4)

时间复杂度分析

6.1 子问题数量

动态规划表格 mmm 的规模为 n×nn \times nn×n，因此子问题总数为 O(n2)O(n^2)O(n2)。

6.2 每个子问题的计算量

对于子链 m $i$ $j$ m $i$ $j$ m $i$ $j$ ，分割点 kkk 的取值范围为 i≤k<ji \leq k < ji≤k<j，共 O(j−i)O(j - i)O(j−i) 种可能，即每个子问题的计算量为 O(n)O(n)O(n)。

6.3 总计算量

算法通过三层循环实现，总时间复杂度为 O(n3)O(n^3)O(n3)，各层循环的时间复杂度如下：

外层循环：链长 lll 从 2 到 nnn，共 O(n)O(n)O(n) 次。
中层循环：起始位置 iii 从 1 到 n−l+1n - l + 1n−l+1，共 O(n)O(n)O(n) 次。
内层循环：分割点 kkk 从 iii 到 j−1j - 1j−1，共 O(n)O(n)O(n) 次。

总结

矩阵链乘法的动态规划算法核心是通过链长 lll 控制子问题规模，按子链长度从小到大的顺序逐步填充动态规划表格 m $i$ $j$ m $i$ $j$ m $i$ $j$ ，最终通过 m $1$ $n$ m $1$ $n$ m $1$ $n$ 得到完整矩阵链的最小乘法次数。该算法的时间复杂度为 O(n3)O(n^3)O(n3)，其中 nnn 为矩阵链中矩阵的个数。