四边形面积

****四边形是具有四条边、四个角和四个顶点的多边形。它是一个二维图形,由四个点(顶点)和直线(边)连接而成。四边形的边可以相等,也可以不相等。****根据角、边和对角线的性质,可以定义出各种类型的四边形,其中一些类型如下:

  • 长方形
  • 正方形
  • 菱形
  • 平行四边形
  • 梯形
  • 风筝

四边形面积:

四边形的面积是四边形边界内的空间,或者换句话说,是四边形边所包围的空间

用一条对角线把四边形分成两个三角形,就能求出它的面积。已知对角线的长度和两个三角形的高,则四边形的面积为:

A = ½ × 对角线 × (高度总和)

注意: 四边形的面积以平方单位测量,例如m 2 、in 2 、cm 2等。

四边形面积公式

在四边形ABCD中,对角线BD的长度为d。ABCD可以被对角线BD分成两个三角形ΔABD和ΔBCD。****计算四边形ABCD的面积,我们需要计算各个三角形的面积,然后将它们相加。****但计算三角形的面积时,必须知道它的高度。假设三角形ABD和BCD的高度分别为h1和h2。

三角形ABD的面积= (1/2) × d × h 1
三角形BCD的面积= (1/2) × d × h 2

由图可知,四边形ABCD的面积=ΔABD的面积+ΔBCD的面积。

四边形ABCD的面积= (1/2) × d × h 1 + (1/2) × d × h 2 = (1/2) × d × ( h 1 + h 2 )。

因此,求四边形面积的公式是,

四边形面积 = (1/2) × 对角线 × (高度之和) = (1/2) × d × ( h 1 + h 2 )

有顶点的四边形面积

如果给定四边形的顶点,假设 A(x 1 , y 1 )、B(x 2 , y 2 )、C(x 3 , y 3 ) 和 D(x 4 , y 4 ) 是四边形 ABCD 的顶点。

然后使用两种不同的方法计算其面积:

  • 鞋带定理
  • 用三角形计算面积

使用坐标几何(或鞋带定理)计算四边形面积

按照箭头方向,添加对角线积,即 x 1 y 2 、x 2 y 3 、x 3 y 4 和 x 4 y 1

(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 )....(i)

现在,沿着虚线箭头添加对角线积,即 x 2 y 1 、x 3 y 2 、x 4 y 3 和 x 1 y 4

(x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 4 y 3 + x 1 y 4 )....(ii)

现在,从 (i) 中减去公式 (ii),然后将结果乘以 1/2。

(1/2) × [(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) -- (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 4 y 3 + x 1 y 4 )]

因此,当给定顶点时,四边形的面积公式为:

利用三角形面积求四边形面积

该方法将给定的四边形分成两个三角形,然后分别求每个三角形的面积。最后,将两个三角形的面积相加,得到四边形的最终面积。

四边形ABCD的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积

具有顶点 P(x 1 , y 1 )、Q(x 2 , y 2 ) 和 R(x 3 , y 3 ) 的三角形的面积由下式给出

用 Bretschneider 公式计算四边形面积

当给定两个对角和四边形的所有边时,我们可以使用Bretschneider 公式计算其面积,该公式是 Heron 四边形公式的扩展,如下所示:

常见四边形的面积公式

一些特定的四边形非常常见,在我们的日常生活中使用,它们的面积公式在下面的文章中解释:

正方形的面积

正方形是长方形的一种特殊情况,四条边相等,且所有边都互相平行。正方形的对角线互相垂直平分。

阅读更多:正方形面积

矩形面积

矩形是具有四条边的封闭图形,其中相对的边相等且彼此平行,并且矩形的对角线以 90 度角平分。

阅读更多: 矩形面积

菱形的面积

菱形是正方形的一个特例,它的四条边和对角都相等,对边平行,邻角和等于 180 度。

其中 D1 和 D2 是菱形对角线的长度。

阅读更多: 菱形面积

平行四边形的面积

对边相等且互相平行的四边形称为平行四边形。平行四边形的对角线互相平分,对角相等,平行四边形两个相邻角之和等于 180 度。

阅读更多: 平行四边形的面积

梯形面积

这个四边形与其他四边形有些不同,因为梯形只有一对对边平行,邻边互补,对角线以相同的比例平分

梯形面积

阅读更多: 梯形面积

风筝面积

风筝形是一种特殊的四边形,其每对相邻边全等,但相对边不全等。在这种情况下,风筝形的最大对角线平分最小对角线。

其中,D1 = 风筝的长对角线(CD),D2 = 风筝的短对角线(AB)

另请阅读:风筝的面积

四边形面积解题示例

例 1:当四边形 ABCD 的顶点分别为 (1, 2)、(5, 6)、(4, −6) 和 (−5, 2) 时,求其面积。

解决方案:

设 A(1, 2)、B(5, 6)、C(4, -6) 和 D(-5, 2) 为四边形 ABCD 的顶点。

A(1, 2) = (x 1 , y 1 ), B(5, 6) = (x 2 , y 2 ), C(4, -6) = (x 3 , y 3 ), D(-5, 2) = (x 4 , y 4 )

我们知道,

四边形面积 = (1/2) × [(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) -- (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 4 y 3 + x 1 y 4 )]

⇒ 四边形面积 = (½).{[1(6) + 5(-6) + 4(2) + (-5)2] -- {[5(2) + 4(6) + (-5)(-6) + 1(2)]}

⇒ 四边形面积 = (½).[(6 -- 30 + 8 -- 10) -- (10 + 24 + 30 + 2)]

⇒ 四边形面积 = (½)[-26 - 66]

⇒ 四边形面积 = 92/2(面积永远不为负值)
⇒ 四边形面积 = 46 单位 2

例 2:设梯形的高度为 5 厘米,AB 和 CD 分别为 10 厘米和 6 厘米,求梯形的面积。

解决方案:

已知AB=10cm,CD=6cm,高=5cm

根据公式,

梯形面积 = (1/2) h (AB + CD)

⇒ 梯形面积 = 1/2 x 5 x (10 + 6)

⇒ 梯形面积 = 40 cm2

例3: 一只风筝,最长对角线为20cm,最短对角线为10cm,求其面积。

解决方案:

最长对角线的长度,D 1 = 20 厘米

最短对角线的长度,D2 = 10厘米

所以,风筝的面积=1/2 x D 1 x D 2

⇒ 风筝面积 = 1/2 x 20 x 10
⇒ 风筝面积 = 100 cm2

例 4:计算 平行四边形,底边长为10米,高为15米。

解决方案:

已知底边 = 10 米,高 = 15 米,

平行四边形的面积 = 底边 × 高

⇒ 平行四边形的面积 = 10 x 15
⇒ 平行四边形的面积 = 150 m 2

例 5:已知 菱形的边长为 120 米,如果另一条对角线的长度为 12 米,则求其中一条对角线的长度。

解决方案:

因为我们知道,

菱形面积 = (1/2) x 对角线1 x 对角线2

把所有已知值放在一起,我们得到

120 = (1/2) x 对角线 1 x 对角线 2

对角线 2 = 20 米

四边形面积练习题

问题 1: 求底边为 6 厘米、高为 8 厘米的平行四边形的面积。
问题 2: 一个长方形的长为 10 米,宽为 4 米。计算它的面积。
问题 3: 计算底边长分别为 6 厘米和 10 厘米、高为 5 厘米的梯形的面积。
问题 4: 已知菱形的对角线长为 8 厘米和 10 厘米,求菱形的面积。
****问题 5:****已知一个不规则四边形的顶点坐标:A(0,0)、B(4,3)、C(6,7)、D(2,5)。计算它的面积。

答案

答案 1: 平行四边形的面积是48 cm²。
答案 2: 矩形的面积是40平方米。
答案3: 梯形的面积是40平方厘米。
答案4: 菱形的面积是40平方厘米。
****答案5:****不规则四边形的面积是15平方单位。

参考:Area of Quadrilateral - GeeksforGeeks

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