评价决策类-Topsis法学习笔记
问题的提出
- 生活中我们常常要进行评价，上一篇中的层次分析法，通过确定各指标的权重，来进行打分，但层次分析法决策层不能太多，而且构造判断矩阵相对主观。那有没有别的方法呢？
例题引入
明星Kun想找个对象，但喜欢他的人太多，不知道怎么选，经过层层考察，留下三个候选人。
| 候选人 | 颜值 | 脾气（争吵次数） |
|---|---|---|
| A | 9 | 10 |
| B | 8 | 7 |
| C | 6 | 3 |
-
理想情况下：
- 最好的对象应该是颜值9，脾气3
- 最差的对象应该是颜值6，脾气10
-
那怎么衡量A、B、C和最好、最差的距离呢？
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把（9，3），（6，10）最为二维平面的一个点（如图中的红点和蓝点）
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距离最好点最近 或者距离最差点最远的点就是综合条件最好的（如上图中的红笔所圈的点）
基本概念
C. L. Hwang 和 K. Yoon 于 1981 年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
TOPSIS 法引入了两个基本概念：
- 理想解：设想的最优的解 (方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值；
- 负理想解：设想的最劣的解 (方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。
方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS 通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择。
模型原理
TOPSIS 法是一种理想目标相似性的顺序选优技术，在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后 (去量纲化) 的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标 (分别用理归想一解化和反理想解表示), 分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离，获得各目标与理想解的贴近度，按理想解贴近度的大小排序，以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在 0~1 之间，该值愈接近 1, 表示相应的评价目标越接近最优水平；反之，该值愈接近 0, 表示评价目标越接近最劣水平。
基本步骤
-
将原始矩阵正向化
将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。
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正向矩阵标准化
标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，保证不同评价指标在同一数量级，且数据大小排序不变。
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计算得分并归一化
S i = D i − D i + + D i − S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-} Si=Di++Di−Di−其中 S i 为得分， D i + 为评价对象与最大值的距离， D i − 为评价对象与最小值的距离。 其中 S_i 为得分，D_i^+ 为评价对象与最大值的距离，D_i^- 为评价对象与最小值的距离 。 其中Si为得分，Di+为评价对象与最大值的距离，Di−为评价对象与最小值的距离。
我们继续帮助明星Kun选对象
明星 Kun 考虑了一下觉得光靠颜值和脾气可能考虑的还不够全面，就又加上了身高和体重两个指标，而且他认为身高 165 是最好，体重在 90 - 100 斤是最好。
| 候选人 | 颜值 | 脾气（争吵次数） | 身高 | 体重 |
|---|---|---|---|---|
| A | 9 | 10 | 175 | 120 |
| B | 8 | 7 | 164 | 80 |
| C | 6 | 3 | 157 | 90 |
原始矩阵正向化
| 指标名称 | 指标特点 | 例子 |
|---|---|---|
| 极大型（效益型）指标 | 越大（多）越好 | 颜值、成绩、GDP 增速 |
| 极小型（成本型）指标 | 越小（少）越好 | 脾气、费用、坏品率、污染程度 |
| 中间型指标 | 越接近某个值越好 | 身高、水质量评估时的 PH 值 |
| 区间型指标 | 落在某个区间最好 | 体重、体温 |
将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。
| 指标名称 | 公式 |
|---|---|
| 极大型（效益型）指标 | / |
| 极小型（成本型）指标 | x ^ = m a x − x \hat{x} = max - x x^=max−x， x ^ \hat{x} x^为转化后指标， m a x max max为指标最大值， x x x为指标值 |
| 中间型指标 | { x i } \{x_i\} {xi}是一组中间型序列，最优值是 x best x_{\text{best}} xbest，正向化公式如下 M = max { ∣ x i − x best ∣ } M = \max\left\{ \vert x_i - x_{\text{best}} \vert \right\} M=max{∣xi−xbest∣}， x ^ i = 1 − ∣ x i − x best ∣ M \hat{x}i = 1 - \frac{\vert x_i - x{\text{best}} \vert}{M} x^i=1−M∣xi−xbest∣ |
| 区间型指标 | { x i } \{x_i\} {xi}是一组区间型序列，最佳区间为 a , b a,b a,b，正向化公式如下 M = m a x { a − m i n { x i } , m a x { x i } − b } M = max\{a - min\{x_i\}, max\{x_i\} - b\} M=max{a−min{xi},max{xi}−b}， x ^ i = { 1 − a − x i M , x i < a 1 , a ≤ x i ≤ b 1 − x i − b M , x i > b \hat{x}_i = \begin{cases} 1 - \frac{a - x_i}{M}, & x_i < a \\ 1, & a \leq x_i \leq b \\ 1 - \frac{x_i - b}{M}, & x_i > b \end{cases} x^i=⎩ ⎨ ⎧1−Ma−xi,1,1−Mxi−b,xi<aa≤xi≤bxi>b |
-
原始矩阵
候选人 颜值 脾气 (争吵次数) 身高 165 体重 90-100 A 9 10 175 120 B 8 7 164 80 C 6 3 157 90 -
正向化后的矩阵
候选人 颜值 脾气 (争吵次数) 身高 体重 A 9 0 0 0 B 8 3 0.9 0.5 C 6 7 0.2 1 -
正向化矩阵标准化
- 标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。
假设有 n n n个要评价的对象， m m m个评价指标（已正向化）构成的正向化矩阵如下：
X = x 11 ⋯ x 1 m ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x n m X = \begin{bmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{nm} \end{bmatrix} X= x11⋮xn1⋯⋱⋯x1m⋮xnm那么，对其标准化的矩阵记为 Z Z Z， Z Z Z中的每一个元素：
z i j = x i j ∑ i = 1 n x i j 2 z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^2}} zij=∑i=1nxij2 xij（解释：每一个元素 / / / 其所在列的元素的平方和 \sqrt{其所在列的元素的平方和} 其所在列的元素的平方和 ）
- 标准化后，还需给不同指标加上权重，采用的权重确定方法有层次分析法 、熵权法 、Delphi法、对数最小二乘法等。在这里认为各个指标的权重相同。
| 候选人 | 颜值 | 脾气(争吵次数) | 身高 | 体重 |
|---|---|---|---|---|
| A | 9 | 0 | 0 | 0 |
| B | 8 | 3 | 0.9 | 0.5 |
| C | 6 | 7 | 0.2 | 1 |
⇒ \boldsymbol{\Rightarrow} ⇒
| 候选人 | 颜值 | 脾气(争吵次数) | 身高 | 体重 |
|---|---|---|---|---|
| A | 0.669 | 0 | 0 | 0 |
| B | 0.595 | 0.394 | 0.976 | 0.447 |
| C | 0.446 | 0.919 | 0.217 | 0.894 |
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计算得分并归一化
- 上一步得到标准化矩阵 ( Z )
Z = z 11 ⋯ z 1 m ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 ⋯ z n m Z = \begin{bmatrix} z_{11} & \cdots & z_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n1} & \cdots & z_{nm} \end{bmatrix} Z= z11⋮zn1⋯⋱⋯z1m⋮znm
- 上一步得到标准化矩阵 ( Z )
-
定义最大值
( Z + = ( Z 1 + , Z 2 + , ... , Z m + ) = ( max { z 11 , z 21 , ... , z n 1 } , max { z 12 , z 22 , ... , z n 2 } , ... , max { z 1 m , z 2 m , ... , z n m } ) ) ( Z^+ = (Z_1^+, Z_2^+, \dots, Z_m^+) = \big( \max\{z_{11}, z_{21}, \dots, z_{n1}\},\ \max\{z_{12}, z_{22}, \dots, z_{n2}\},\ \dots,\ \max\{z_{1m}, z_{2m}, \dots, z_{nm}\} \big) ) (Z+=(Z1+,Z2+,...,Zm+)=(max{z11,z21,...,zn1}, max{z12,z22,...,zn2}, ..., max{z1m,z2m,...,znm}))-
定义最小值
( Z − = ( Z 1 − , Z 2 − , ... , Z m − ) = ( min { z 11 , z 21 , ... , z n 1 } , min { z 12 , z 22 , ... , z n 2 } , ... , min { z 1 m , z 2 m , ... , z n m } ) ) ( Z^- = (Z_1^-, Z_2^-, \dots, Z_m^-) = \big( \min\{z_{11}, z_{21}, \dots, z_{n1}\},\ \min\{z_{12}, z_{22}, \dots, z_{n2}\},\ \dots,\ \min\{z_{1m}, z_{2m}, \dots, z_{nm}\} \big) ) (Z−=(Z1−,Z2−,...,Zm−)=(min{z11,z21,...,zn1}, min{z12,z22,...,zn2}, ..., min{z1m,z2m,...,znm})) -
定义第 i(i=1,2,...,n) 个评价对象与最大值的距离
( D i + = ∑ j = 1 m ( Z j + − z i j ) 2 ) ( D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} \big(Z_j^+ - z_{ij}\big)^2} ) (Di+=j=1∑m(Zj+−zij)2 ) -
定义第 i(i=1,2,...,n) 个评价对象与最小值的距离
( D i − = ∑ j = 1 m ( Z j − − z i j ) 2 ) ( D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} \big(Z_j^- - z_{ij}\big)^2} ) (Di−=j=1∑m(Zj−−zij)2 ) -
那么，我们可以计算得出第 i(i=1,2,...,n) 个评价对象未归一化的得分：
S i = D i − D i + + D i − S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-} Si=Di++Di−Di− -
很明显 0 ≤ S i ≤ 1 0 \leq S_i \leq 1 0≤Si≤1，且 S i S_i Si 越大 D i + D_i^+ Di+ 越小，即越接近最大值
-
我们可以将得分归一化并换成百分制：
S ~ i = S i ∑ i = 1 n S i × 100 \tilde{S}i = \frac{S_i}{\sum{i=1}^{n} S_i} \times 100 S~i=∑i=1nSiSi×100
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- 归一化后的矩阵
-
上一步标准化的矩阵
候选人 颜值 脾气（争吵次数） 身高 体重 A 0.669 0 0 0 B 0.595 0.394 0.976 0.447 C 0.446 0.919 0.217 0.894 ⇒ \boldsymbol{\Rightarrow} ⇒
-
归一化后
候选人 得分 A 0.122 B 0.624 C 0.622 ⇒ \boldsymbol{\Rightarrow} ⇒
-
转换为百分制
候选人 得分 A 8.9 B 45.7 C 45.5
明星Kun选择了B！！！
