Table of Contents
- 前言：
- 什么是图：
- 图的基础概念：
- [Part 1.有向图、无向图、加权图](#Part 1.有向图、无向图、加权图)
- [Part 2.度，入度，出度，联通图](#Part 2.度，入度，出度，联通图)
- 图的存储：
- [Part 1.邻接表存储](#Part 1.邻接表存储)
- [Part 2.邻接矩阵存储](#Part 2.邻接矩阵存储)
- 结语：
前言：
众所周知，图论，是算法与数据结构高度统一的一部分，也是一块硬骨头；
但是，我们这些学计算机的人，不就是应该迎难而上吗；
所以，在开学前的最后4天，本蒟蒻准备开始啃图论了；
读完本文，你将对图和图的基础概念有一个深刻的认知；
前置知识：无（不过，如果你已经知道'集合'和'二元关系'这两个词，阅读体验会更丝滑）
什么是图：
我们先讲讲为什么会有图
想象一下，现在有一个巨大的社交网络，其中每个人都与若干个人有联系
如果是你，你会怎么表示它的数学模型呢（或者说，你会怎样把它抽象出来，使它易于表示、观看）；
一个很显然的做法是：将人抽象成点，将人与人的关系抽象成线，两个点有连线，当且仅当这两个点代表的两个人有联系；
也就是说，两个人有联系时，我们就把他们连起来；
那么，恭喜你，发明了图！
图就是将复杂的关系简单化的一种数据结构，能够轻而易举地看出复杂关系，并加以研究 ；
比如如下两个图：
仅看第一张图，你完全不知道这是什么；
现在我告诉你，它和第二张是等价的；
相信，通过这个例子，你能够知道图的力量了；
图还有一个非常著名的应用：地图软件（当然，这都老生常谈了），我们将任何一个位置抽象成点，两点之间的线的长度就是两点之间的距离，随后找出起点和终点的最短路即可；
通过这两个例子，不难发现，每张图都有点、边这两个东西，因此，图的定义是这样的：
**给定两个集合： \(V、E\) ，其中 \(V\) 存放所有的点， \(E\) 存放所有的边，图 \(G\) 就是这两个集合的组合：\(G = (V,E)\) ;
**
我们依次解释里面的几个地方：
由于 \(V\) 存放所有的点，我们称 \(V\) 为点集，这与高中数学中常见的点集是一样的；
由于 \(E\) 存放所有的边，我们称 \(E\) 为边集；
怎么表示一个边呢？若有两个点 \(u,v\) ， \(u,v\) 之间的边用**无序的对** \({u,v}\) 表示，所以， \(E\) 大概是这样的: \(E = \{\{u_1,v_1\},\{u_2,v_2\},\cdots \{u_n,v_n\}\}\) ；
显然，其中的每个点必须是 \(V\) 中的一个点，否则就是没有意义的；
一些补充：点，有的地方也叫做顶点、节点；
图的基础概念：
不要一听到基础概念就跑路，仅仅去罗列概念是没有用的，看完就会忘；学算法更重要的是理解本质；
Part 1.有向图、无向图、加权图
那么仍然是根据地图和社交网络的例子：
小A认识小B代表小B认识小A吗，显然不是；
一条路是否可以是单行道呢，显然可以；
到目前为止，我们把边画成了"没有箭头"的线段
------这意味着"张三认识李四"与"李四认识张三"被当成同一件事
那么怎样表示小A认识小B，而小B不认识小A呢？ 我们可以画一个小A指向小B的箭头，这样就代表示小A认识小B，小B什么也不做（没有指向小A的箭头），这就表示，小B不认识小A；
再比如在地图中，若是AB两点只允许A通向B，我们就将A指向B，这代表从A到B有路；
所以对于某些情况，边是有指向性的，我们把这样的图叫做有向图；
相应的，边没有指向性的图就叫做无向图；
那么无向图和有向图有什么区别呢？
注意到：在定义中，我提到了：边使用无序的对表示，这表明了，由 \(u\) 向 \(v\) 连接还是由 \(v\) 向 \(u\) 连接都无所谓，是一样的；
但在有向图中，这并不等价，我们需要定义边究竟是谁指向谁，所以，这里需要使用有序对，我们使用小括号，记为 \((u,v)\) ，代表有一条从 \(u\) 指向 \(v\) 的边；
也就是说，之前的定义是无向图的定义，而修改为有序对之后就是有向图的定义；
到目前为止，这张地图、社交网络完整了吗？
显然，没有，地图需要比例尺来确定两点间的距离，社交网络也需要一个值衡量两个人的好感度，这就意味着，我们的边需要一个长度，它代表着，两点的距离、两个人的好感度；
我们把这种边长有值的图叫做赋权图、加权图 ，权，就是这条边的长度，如图：
这样，我们就完成了地图与社交网络的表示；
Part 2.度，入度，出度，联通图
接下来，我们介绍另一个概念：度 ；
何为度呢，度就是与一个点有关系的点的数量 ；
换言之：就是与这个点相连的边的数量；
特别的，在有向图中，指向这个点（以这个点为终点）的边的数量叫做这个点的入度；反之，从这个点出发的边的数量就是这个点的出度；
也就是说，只有有向图分入度、出度，无向图只有度；
我们称无向图中度数为偶数的点为 偶点，度数为奇数的点为奇点；
再引入一个问题，就是著名的一笔画问题：给你一张图，如何能判断这张图是否能一笔画完；
即：从某点出发，经过每条边**恰好**一次，最后停在一个点；
欧拉给出了一笔画定理：当且仅当一个图联通，并且这张图上奇点个数为0或2时可以一笔画成；
这是为什么呢？
- 首先，什么是连通：故名思义，就是从一点出发，可以沿着边到达一些点后继续沿着边前进，能够达到所有的点，换言之，就是没有任何一个孤立的点，我们称这张图连通；
- 随后，为什么奇点个数为0时可以一笔画：
想象一下，你正在一笔画一个图形。每当你用笔经过一个顶点时，必定是"一进一出"
假设你从起点A出发。每当你的路径进入一个顶点（比如B），就必须有一条"尚未使用"的边让你离开B（除非B是终点）。这个"进入"和"离开"的动作，会消耗掉与顶点B相连的两条边。
因此，对于路径上的中间顶点（不是起点和终点的点），与之相连的边必须成对出现，即它的度数必须是偶数
那么起点和终点呢？
如果你的路径最终要回到起点（形成回路），那么起点在最初"离开"了一次，最终又"进入"了一次。这一出一进同样消耗了两条边。所以，起点/终点也必须是偶度数。
因此，存在欧拉回路（一笔画的时候起点就是终点）的图，所有顶点都必须是偶度数；
- 为什么奇点个数为2可以一笔画：
现在，假设你的路径不需要回到起点。那么，起点和终点将是两个不同的顶点。
起点：你从这里出发，只"离开"不"进入"。因此，与起点相连的边被消耗掉的次数是奇数（第一次离开，之后可能进出多次，但总次数为奇）。
终点：你最终到达这里，只"进入"不"离开"。因此，与终点相连的边被消耗掉的次数也是奇数。
中间顶点：依然是"一进一出"，消耗偶数条边。
所以，在这种情况下，整个图有且只能有两个顶点拥有奇数度数，它们分别就是路径的起点和终点
证毕.
相信通过这个例子，你能够深刻地理解图论的一些基础概念；
一些补充：联通，也写做「连通」，大部分资料都是使用「连通」；
图的存储：
Part 1.邻接表存储
接下来我们讲如何把一张图存在计算机中，如果是你，你会怎么办呢？
大部分人的想法是：遵循图的定义，使用一个集合存点，另一个集合存边，但是，这么做的代价是：每次从一个点到另一个点，需要查看所有的边才行（这样才能找到与这个点相连的边）；
那么怎么优化一下呢？
我们可以给每个点都开一个集合，里面存放与这个点相连的边；
更进一步，对于无向图，由于这里面的边都与这个点相连，我们可以只存另一个点，优化内存；对于有向图，这个点的集合存放的就是以这个点为起点的边，同样，由于都是以这个点为起点，我们也可以只存另一个点；
那么，恭喜你，发明了图的邻接表存储；
邻接表存储：给每个点都开一个数组，数组的成员即为与这个点相连的点的编号，若图有权，再另开一个权数组，对应存权值；
邻接表的邻接，就是「这条边与这个点相邻、相接」的意思；
补充：由于需要兼容有向图，并且更好地操作，如果是无向图，我们需要在u的集合存v，在v的集合存u；
Part 2.邻接矩阵存储
众所周知，没有绝对完美的结构，每种方式总有缺点，如果没有，那么这种结构一定非常复杂；
那么邻接表又有什么缺点呢？
我们先想想对于图，会有什么操作：最简单的，就是查询 \(u,v\) 间是否有边；
邻接表的查找，很显然，需要遍历u的集合的所有成员，也就是 \(O(n)\) ，更准确地讲，这跟u的度有关，我们把一个点u的度记为 \(d(u)\) ，那么时间复杂度是 \(O(d(u))\) ；
有一种做法，可以将「查询 \(u,v\) 间是否有边」的时间复杂度降低至 \(O(1)\) ，而根据我们的经验，这一定是要付出一些代价的；
这次的代价是：空间；
我们以空间换时间，定义一个矩阵 \(G\) ， \(G_{i,j} = 1\) 代表有一条从i到j的边（仍然是为了兼容有向图），若是这是加权图，我们将1改为权即可；
这种方法简单、粗暴，弊端也很明显：当一个图点数很多，而边很少的时候，会浪费大量的空间；
但这正是邻接表的优点；
我们做一个总结：在稀疏图（即点多、边少）中，我们使用邻接表，在稠密图中，我们使用邻接矩阵；
结语：
"人生如棋，我愿做卒"
"行动虽缓，可谁曾见我后退一步！"
这篇文章只是对图的一个初步认识，接下来会陆续更新图论算法；
如有笔误，烦请不吝赐教
Upt 2025.8.28 22:22