分治法——二分答案

有时，直接由问题求得答案十分困难，而已知答案来验证答案正确性则要容易得多，此时可以考虑直接枚举答案。当然，大部分时候直接暴力枚举答案的时间复杂度肯定超出了题目要求，这时我们就可以通过二分答案的方式来加快枚举。

例题1：

这题想直接求得答案是很困难的，但是如果我们已知了答案是x，即数列分为M段后，每段和的最大值为x，此时可以通过以下方式验证正确性：

由于分段必须连续，所以我们对数列的第一个数开始一直求和，当在第i个数字求和大于x时，说明i不能被划分到这一段中，所以从i开始向后划分下一段，继续求和，重复以上操作，当划分完所有分段后，如果划分出的分段数大于M，则说明不能在每段和的最大值为x的情况下将数列划分为M段，因为此时，无论你将多出的分段划分到M中的任意一段中，都会导致该分段的和超过x。

那么，本题我们就可以通过二分答案的方式找出x的最小值。根据题意，x的取值范围可以缩小至数列中的最小值到数列的总和，我们在这个范围内二分答案，找出x的最小值。示例代码如下：

python 复制代码

# 获取题目输入
N, M = map(int, input().split())
A = list(map(int, input().split()))

# 二分答案
left = min(A)
right = sum(A)


# 检查和最大值为x时，能否被分为M段
def check(x):
    sum_current = 0
    sum_before = 0
    count = 1
    for e in A:
        if e > x:
            return False
        if sum_current + e - sum_before > x:
            sum_before = sum_current
            sum_current += e
            count += 1
        else:
            sum_current += e
    if count > M:
        return False
    return True


while left < right:
    mid = (left + right) >> 1
    if check(mid):
        right = mid
    else:
        left = mid + 1
print("%d" % left)

例题2：

A-愤怒的牛_Part1.2 基础算法-二分与三分

本题同例题一，当已知了答案是x即牛舍间的距离最小距离为x时，可以通过以下方式验证：

我们对牛舍按位置从小到大排序，按贪心思想，从第一个位置开始放置牛，从下一个位置开始，如果到前一个位置的距离小于x则不能放置牛，只有大于等于x时可以放置牛，按此规则一直尝试到最后一个位置，如果此时放置的牛的数量小于m，则说明不能在牛舍间的距离最小距离为x放置m头牛。

答案的范围在0~牛舍相距最远的距离，在这个范围内二分答案，找出x的最大值。示例代码如下：

python 复制代码

# 获取题目输入
import sys

input = sys.stdin.read
data = input().split()
n = int(data[0])
m = int(data[1])
a = list(map(int, data[2:2+n]))
a.sort()  # 升序排序


# 二分答案
left = 0
right = a[-1] - a[0]


# 最小距离为x时，能否放入m头牛
def check(x):
    cnt = 0
    before = 0
    for i in range(len(a)):
        if i == 0:
            cnt += 1
            continue
        if a[i] - a[before] >= x:
            cnt += 1
            before = i
    return cnt >= m


while left < right:
    mid = (left + right + 1) >> 1
    if check(mid):
        left = mid
    else:
        right = mid - 1
print("%d" % left)