为什么计算机用“补码”存储整数？

你有没有想过，计算机是如何表示负数的？

我们都知道，计算机世界里只有 0 和 1。表示正数很简单，把十进制转换成二进制就行了。比如 5 就是 0101。

但 -5 呢？总不能在前面加个负号吧，因为计算机只认识 0 和 1。

为了解决这个问题，工程师们想出了几种方案，最终，"补码"脱颖而出，成为了几乎所有现代计算机存储和运算数字的标准。

为什么是它？难道就因为它名字听起来比较"专业"吗？

当然不是。选择补码，是因为它是一个极其精妙的设计，用最简单、最高效的方式解决了计算机做减法和表示负数的两大难题。

我们从头说起，看看工程师们是怎么一步步打怪升级，最终选定"补码"这位天选之子的。

第一关：最初的尝试------原码（Sign-Magnitude）

我们最容易想到的方法，就是"原码"。

思路很直接：我们不是要表示正负号吗？那就专门留一个比特位（bit）当做"符号位"好了。

• 规则：最高位是符号位，0 代表正数，1 代表负数。剩下的位表示这个数的绝对值。

举个例子，我们用 8 个比特位来表示一个数：

• +5：符号位是 0，数值是 5 (0000101)。所以 +5 的原码是 0000 0101。
• -5：符号位是 1，数值是 5 (0000101)。所以 -5 的原码是 1000 0101。

看起来是不是很完美？很符合人类的直觉？

但计算机科学家们很快发现了它的两大"天坑"：

坑1：出现了两个"0"

• +0 的原码是 0000 0000。
• -0 的原码是 1000 0000。

"+0" 和 "-0" 在数学上是同一个东西，但在计算机里却有两种不同的表示法。这会带来很多麻烦，比如判断一个数是不是 0，就需要比较两次。这对于追求效率的计算机来说，是不能接受的。

坑2：加法和减法规则极其复杂

计算机最核心的功能就是计算。如果用原码来计算，会发生什么？

我们想算 5 + (-3)。 原码表示是：0000 0101 + 1000 0011。

如果直接按位相加，会得到 1000 1000，转换成十进制是 -8。这显然是错的，正确答案应该是 2。

所以，CPU 如果要用原码计算，就必须内置一套复杂的逻辑：

1. 先判断两个数的符号位。
2. 如果符号相同，就做加法。
3. 如果符号不同，就要先比较两个数的绝对值大小，然后用大数减小数，最后结果的符号还要跟大数保持一致。

想象一下，每次做个加减法都要这么折腾，CPU 得多心累？这会大大增加电路的复杂性，降低运算速度。

原码，卒。

第二关：改进的方案------反码（One's Complement）

为了解决原码的计算问题，反码登场了。

• 规则：

• 正数的反码和原码一样。

• 负数的反码，是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反（0 变 1，1 变 0）。

再看 -5：

1. 原码是 1000 0101。
2. 符号位 1 不变，其余各位取反，得到反码 1111 1010。

反码厉害在哪里？它把减法变成了加法！

我们再来算 5 - 3，也就是 5 + (-3)：

• +5 的反码是 0000 0101。
• -3 的原码是 1000 0011，反码是 1111 1100。

现在我们把它们加起来：

0000 0101  (5)
+ 1111 1100  (-3)
-----------------
  1 0000 0001

结果多出来一个"溢出"的 1。在反码运算中，这个溢出的 1 需要加回到结果的末尾（循环进位）。

0000 0001
+         1
-----------------
  0000 0010

0000 0010 转换成十进制，正好是 2！

通过"取反"这个简单的操作，我们成功地让计算机只用加法电路就能同时处理加法和减法了。这是一个巨大的进步！

但反码依然没能解决原码的第一个坑："0" 的问题。

• +0 的反码是 0000 0000。
• -0 的原码是 1000 0000，反码是 1111 1111。

"0" 还是有两个编码。这个问题不解决，始终是个隐患。

反码，淘汰。

第三关：终极王者------补码（Two's Complement）

终于，轮到我们的主角------补码出场了。它吸收了反码的优点，并完美地修复了它的缺陷。

• 规则：

• 正数的补码和原码、反码都一样。

• 负数的补码，是在其反码的末尾加 1。

我们再来看 -5：

1. 原码是 1000 0101。
2. 反码是 1111 1010。
3. 反码加 1，得到补码 1111 1011。

补码究竟神在哪里？

优点1：只有一个 "0"

我们来看看 +0 和 -0 在补码里是什么样的：

• +0：补码是 0000 0000。
• -0：

1. 原码 1000 0000

2. 反码 1111 1111

3. 反码加 1 1 0000 0000。因为我们只有 8 位，最高位的溢出直接丢掉，结果是 0000 0000。

看到了吗？在补码的世界里，+0 和 -0 的表示方法统一了，都是 0000 0000。那个讨厌的 "-0" (1000 0000) 被腾了出来。工程师们没有浪费它，而是用它来表示 -128，这使得 8 位有符号数的表示范围从 [-127, 127] 变成了 [-128, 127]，还多了一个表示空间。

优点2：完美统一加减法

我们再来用补码算一次 5 + (-3)：

• +5 的补码是 0000 0101。
• -3 的原码是 1000 0011，反码是 1111 1100，补码是 1111 1101。

把它们加起来：

0000 0101   (5)
+ 1111 1101   (-3)
-----------------
  1 0000 0010

最高位的溢出 1 直接丢弃，不用像反码那样再加回来。结果是 0000 0010，转换成十进制，就是 2。

简单、干脆、漂亮！

一个绝妙的数学思想：模运算

补码的精髓在于它利用了"模运算"的思想，可以把它想象成一个时钟。

在一个 12 小时的时钟上，当前是 5 点，要回到 3 小时前（5 - 3），是 2 点。 你也可以往前拨 9 小时（5 + 9 = 14），因为 14 mod 12 = 2，结果也是 2 点。

在这里，12 就是"模"， -3 和 +9 在模 12 的系统下是等价的。9 就是 -3 关于 12 的"补数"。

对于 8 位二进制数，它的"模"是 2^8 = 256。所以 -3 的补码 1111 1101 转换成无符号数就是 253。而 256 - 3 = 253。

5 + (-3) 在计算机里就变成了 5 + 253 = 258。因为 8 位存不下 258，最高位溢出， 258 mod 256 = 2。结果完全正确。

通过补码，计算机巧妙地将所有减法都转化成了加法，并且不需要任何额外的判断和处理。硬件电路可以做得极其简单，大大提升了运算效率。

总结一下

我们来回顾一下这场"数字编码淘汰赛"：

• 原码：最直观，但有 +0 和 -0 两个零，且加减法运算复杂，硬件实现困难。
• 反码：解决了"减法变加法"的问题，但 +0 和 -0 的问题依然存在，且运算时可能需要"循环进位"。
• 补码：

1. 完美解决了 +0 和 -0 的问题，只有一个 0 的编码。

2. 完美统一了加法和减法，让 CPU 可以用一套最简单的加法电路搞定所有运算，硬件设计大大简化。

3. 顺便还多了一个表示范围。

因此，补码凭借其高效、简单、无歧义的巨大优势，最终成为了计算机世界存储和运算数字的唯一标准。它不是一个随意的选择，而是一个充满了工程智慧的、极其优雅的解决方案。