盛最多水的容器:双指针法的巧妙运用(leetcode 11)

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 height,有 n 条垂线,第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height[i])。找出其中的两条线,使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

我的思考历程

最初看到这个问题,我直觉上想到的是双指针法。设置左右两个指针,分别指向数组的开头和结尾,然后逐步向中间移动。但关键问题是:应该移动哪个指针?

第一次尝试:移动较高的指针

我最初的思路是:"让高的柱子先走,因为它可能找到更高的搭档"。于是写出了这样的代码:

cpp

复制代码
// 初始错误思路
if (height[left] > height[right]) {
    h = min(height[left], height[--right]);
} else {
    h = min(height[++left], height[right]);
}

但测试后发现结果不对!这让我陷入了深深的思考...

突破时刻:为什么应该移动较矮的指针?

经过1个小时的思考和数学推导,我终于明白了其中的奥秘:

数学证明

设当前状态:容量 = min(h_left, h_right) × width

如果移动较高的指针

  • 新宽度 = width - 1

  • 新高度 ≤ min(h_left, h_right)

  • ∴ 新容量 ≤ min(h_left, h_right) × (width - 1) < 原容量

如果移动较矮的指针

  • 新宽度 = width - 1

  • 新高度可能 > min(h_left, h_right)

  • ∴ 新容量可能增加!

直观理解

想象两个柱子,一个矮一个高:

  • 移动高的柱子:容器的高度上限被矮柱子限制,宽度减少,容量必然减少

  • 移动矮的柱子:虽然宽度减少,但可能找到更高的柱子,从而增加高度补偿宽度的损失

最终解决方案

cpp

复制代码
class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int maxArea = 0;
        int left = 0;
        int right = height.size() - 1;
        
        while (left < right) {
            int currentHeight = min(height[left], height[right]);
            int currentWidth = right - left;
            maxArea = max(maxArea, currentHeight * currentWidth);
            
            // 关键 insight:移动较矮的指针
            if (height[left] < height[right]) {
                left++;
            } else {
                right--;
            }
        }
        
        return maxArea;
    }
};

算法分析

  • 时间复杂度:O(n),每个元素最多被访问一次

  • 空间复杂度:O(1),只使用常数额外空间

  • 正确性保证:每次移动都排除了不可能产生更大容量的情况

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