盛最多水的容器：双指针法的巧妙运用（leetcode 11）

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 height，有 n 条垂线，第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height $i$ )。找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

我的思考历程

最初看到这个问题，我直觉上想到的是双指针法。设置左右两个指针，分别指向数组的开头和结尾，然后逐步向中间移动。但关键问题是：应该移动哪个指针？

第一次尝试：移动较高的指针

我最初的思路是："让高的柱子先走，因为它可能找到更高的搭档"。于是写出了这样的代码：

cpp

复制代码

// 初始错误思路
if (height[left] > height[right]) {
    h = min(height[left], height[--right]);
} else {
    h = min(height[++left], height[right]);
}

但测试后发现结果不对！这让我陷入了深深的思考...

突破时刻：为什么应该移动较矮的指针？

经过1个小时的思考和数学推导，我终于明白了其中的奥秘：

数学证明

设当前状态：容量 = min(h_left, h_right) × width

如果移动较高的指针：

新宽度 = width - 1
新高度 ≤ min(h_left, h_right)
∴ 新容量 ≤ min(h_left, h_right) × (width - 1) < 原容量

如果移动较矮的指针：

新宽度 = width - 1
新高度可能 > min(h_left, h_right)
∴ 新容量可能增加！

直观理解

想象两个柱子，一个矮一个高：

移动高的柱子：容器的高度上限被矮柱子限制，宽度减少，容量必然减少
移动矮的柱子：虽然宽度减少，但可能找到更高的柱子，从而增加高度补偿宽度的损失

最终解决方案

cpp

复制代码

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int maxArea = 0;
        int left = 0;
        int right = height.size() - 1;
        
        while (left < right) {
            int currentHeight = min(height[left], height[right]);
            int currentWidth = right - left;
            maxArea = max(maxArea, currentHeight * currentWidth);
            
            // 关键 insight：移动较矮的指针
            if (height[left] < height[right]) {
                left++;
            } else {
                right--;
            }
        }
        
        return maxArea;
    }
};

算法分析

时间复杂度：O(n)，每个元素最多被访问一次
空间复杂度：O(1)，只使用常数额外空间
正确性保证：每次移动都排除了不可能产生更大容量的情况