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一、⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称**⼆叉排序树**，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
- 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值。
- 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值。
- 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树。
- ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值。
二、⼆叉搜索树的性能分析
最优情况 下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log 2 _2 2N。
最差情况 下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N。
所以综合 ⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度 为：O(N)。
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，只有⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(log 2 _2 2N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
- 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。
这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
三、二叉搜索树的实现
1、二叉搜索树的结构
1）单个节点
c
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};再进行测试：
c
#include"BinarySearch.h"
int main()
{
BSTNode<int>* node = new BSTNode<int>(10);//创建一个键值为10的节点
return 0;
}调试观察：
2）二叉搜索树的基本结构
c
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
//默认构造（强制生成构造）
BSTree() = default;
//拷贝构造
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
//赋值重载
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
//析构函数
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
//...增删查改
private:
//遍历（中序）
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
//二叉树的销毁（后序）
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
//拷贝函数（前序）
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};2、方法的实现
1）二叉搜索树的插入
插⼊的具体过程如下：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针。
- 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
- 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
c
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
c
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//不支持相等的值插入
return false;
}
cur = new Node(key);
if (key > parent->_key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
}
return true;
}再结合之前的默认成员函数一起进行测试：
c
#include"BinarySearch.h"
int main()
{
BSTree<int> t1;
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto e : a)
{
t1.Insert(e);//插入
}
t1.InOrder();//遍历
BSTree<int> t2(t1);//拷贝构造
t2.InOrder();
BSTree<int> t3;
t3 = t1;//赋值
t3.InOrder();
return 0;
}运行结果：
2）⼆叉搜索树的查找
- 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
- 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
- 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回
c
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了
return cur;
}
}
//没有找到
return nullptr;
}再进行测试：
c
#include"BinarySearch.h"
int main()
{
BSTree<int> t1;
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto e : a)
{
t1.Insert(e);
}
t1.InOrder();
if (t1.Find(7) == nullptr)
{
printf("没有找到\n");
}
else
{
printf("找到了，地址为%p\n", t1.Find(7));
}
return 0;
}运行结果：
3）二叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）。
- 要删除结点N左右孩⼦均为空。
- 要删除的结点N左孩⼦为空，右孩⼦结点不为空。
- 要删除的结点N右孩⼦为空，左孩⼦结点不为空。
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空。
对应以上四种情况的解决⽅案：
- N结点的⽗亲指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）。
- N结点的⽗亲指向N的右孩⼦，直接删除N结点。
- N结点的⽗亲指向N的左孩⼦，直接删除N结点。
- ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是将R的值赋值给N，转⽽变成删除R结点。
c
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
//找到要删除的key
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了，删除
//左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
//如果删除根节点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//判断cur是在parent左边还是右边,先连接
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
//左右都不为空
else
{
//找到右子树最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
//最左节点赋值给原删除节点
cur->_key = replace->_key;
//连接replaceParent和replace后续节点
if (replaceParent->_left == replace)
{
replaceParent->_left = replace->_right;
}
else
{
replaceParent->_right == replace->_right;
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}再进行测试：
c
#include"BinarySearch.h"
int main()
{
BSTree<int> t1;
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto e : a)
{
t1.Insert(e);
}
t1.InOrder();
t1.Erase(10);
t1.InOrder();
return 0;
}运行结果：
四、⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
1、key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1： ⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。
场景2： 检查⼀篇英⽂ 章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。
2、key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1： 简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2： 商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
场景3： 统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
3、key/value⼆叉搜索树代码实现
c
#include<iostream>
using namespace std;
namespace key_value
{
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K, V>;//using用法与typedef一样
public:
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//不支持相等的值插入
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (key > parent->_key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了
return cur;
}
}
//没有找到
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
//找到要删除的key
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到了，删除
//左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
//如果删除根节点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//判断cur是在parent左边还是右边,先连接
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
//左右都不为空
else
{
//找到右子树最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
//最左节点赋值给原删除节点
cur->_key = replace->_key;
//连接replaceParent和replace后续节点
if (replaceParent->_left == replace)
{
replaceParent->_left = replace->_right;
}
else
{
replaceParent->_right == replace->_right;
}
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
//中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
//二叉树的销毁(后序)
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
//深拷贝(前序)
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}场景1：
c
#include"BinarySearch.h"
int main()
{
key_value::BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("right", "右边");
dict.Insert("insert", "插入");
dict.Insert("string", "字符串");
string str;
while (cin >> str)
{
auto ret = dict.Find(str);
if (ret)
{
cout << "->" << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "无此单词，请重新输入:" << endl;
}
}
return 0;
}运行结果：
场景3：
c
#include"BinarySearch.h"
int main()
{
string arr[]= { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
key_value::BSTree<string, int> countTree;
for (const auto& str : arr)
{
// 先查找水果在不在搜索树中
// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>
// 2、在，则查找到的节点中水果对应的次数++
//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
auto ret = countTree.Find(str);
if (ret == nullptr)
{
countTree.Insert(str, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
return 0;
}运行结果：
