【C++】15. ⼆叉搜索树

怀旧,2025-09-03 10:10

文章目录

一、⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称**⼆叉排序树**，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

  • 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值。
  • 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值。
  • 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树。
  • ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值。

二、⼆叉搜索树的性能分析

最优情况 下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log 2 _2 2N。

最差情况 下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N。

所以综合 ⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度 为：O(N)。

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，只有⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(log 2 _2 2N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

  1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
  2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、二叉搜索树的实现

1、二叉搜索树的结构

1）单个节点

c 复制代码 
template<class K>
struct BSTNode
{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;

	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{}
};

再进行测试：

c 复制代码 
#include"BinarySearch.h"

int main()
{
	BSTNode<int>* node = new BSTNode<int>(10);//创建一个键值为10的节点

	return 0;
}

调试观察：

2）二叉搜索树的基本结构

c 复制代码 
#include<iostream>
using namespace std;

template<class K>
struct BSTNode
{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;

	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{}
};

template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K> Node;
public:
	//默认构造（强制生成构造）
	BSTree() = default;

	//拷贝构造
	BSTree(const BSTree& t)
	{
		_root = Copy(t._root);
	}

	//赋值重载
	BSTree& operator=(BSTree tmp)
	{
		swap(_root, tmp._root);
		return *this;
	}

	//析构函数
	~BSTree()
	{
		Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

    //...增删查改

private:
	//遍历（中序）
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	//二叉树的销毁（后序）
	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);
		delete root;
	}

	//拷贝函数（前序）
	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}

		Node* newRoot = new Node(root->_key);
		newRoot->_left = Copy(root->_left);
		newRoot->_right = Copy(root->_right);
		return newRoot;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2、方法的实现

1）二叉搜索树的插入

插⼊的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针。
  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
  3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
c 复制代码 
 int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
c 复制代码 
bool Insert(const K& key)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//不支持相等的值插入
			return false;
		}

		cur = new Node(key);
		if (key > parent->_key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
	}
	return true;
}

再结合之前的默认成员函数一起进行测试：

c 复制代码 
#include"BinarySearch.h"

int main()
{
	BSTree<int> t1;
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert(e);//插入
	}
	t1.InOrder();//遍历

	BSTree<int> t2(t1);//拷贝构造
	t2.InOrder();

	BSTree<int> t3;
	t3 = t1;//赋值
	t3.InOrder();

	return 0;
}

运行结果：

2）⼆叉搜索树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
  4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回
c 复制代码 
Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//找到了
			return cur;
		}
	}

	//没有找到
	return nullptr;
}

再进行测试：

c 复制代码 
#include"BinarySearch.h"

int main()
{
	BSTree<int> t1;
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert(e);
	}
	t1.InOrder();

	if (t1.Find(7) == nullptr)
	{
		printf("没有找到\n");
	}
	else
	{
		printf("找到了，地址为%p\n", t1.Find(7));
	}

	return 0;
}

运行结果：

3）二叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）。

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空。
  2. 要删除的结点N左孩⼦为空，右孩⼦结点不为空。
  3. 要删除的结点N右孩⼦为空，左孩⼦结点不为空。
  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空。

对应以上四种情况的解决⽅案：

  1. N结点的⽗亲指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）。
  2. N结点的⽗亲指向N的右孩⼦，直接删除N结点。
  3. N结点的⽗亲指向N的左孩⼦，直接删除N结点。
  4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是将R的值赋值给N，转⽽变成删除R结点。

c 复制代码 
bool Erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		//找到要删除的key
		if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//找到了，删除
			//左为空
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				//如果删除根节点
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					//判断cur是在parent左边还是右边,先连接
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}

				delete cur;
			}
			//右为空
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}

				delete cur;
			}
			//左右都不为空
			else
			{
				//找到右子树最左节点
				Node* replaceParent = cur;
				Node* replace = cur->_right;
				while (replace->_left)
				{
					replaceParent = replace;
					replace = replace->_left;
				}

				//最左节点赋值给原删除节点
				cur->_key = replace->_key;

				//连接replaceParent和replace后续节点
				if (replaceParent->_left == replace)
				{
					replaceParent->_left = replace->_right;
				}
				else
				{
					replaceParent->_right == replace->_right;
				}

				delete replace;
			}

			return true;
		}
	}

	return false;
}

再进行测试：

c 复制代码 
#include"BinarySearch.h"

int main()
{
	BSTree<int> t1;
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert(e);
	}
	t1.InOrder();

	t1.Erase(10);
	t1.InOrder();

	return 0;
}

运行结果：

四、⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

1、key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1： ⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。

场景2： 检查⼀篇英⽂ 章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

2、key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1： 简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2： 商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3： 统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

3、key/value⼆叉搜索树代码实现

c 复制代码 
#include<iostream>
using namespace std;

namespace key_value
{
	template<class K, class V>
	struct BSTNode
	{
		K _key;
		V _value;

		BSTNode<K, V>* _left;
		BSTNode<K, V>* _right;

		BSTNode(const K& key, const V& value)
			:_key(key)
			, _value(value)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	template<class K, class V>
	class BSTree
	{
		//typedef BSTNode<K> Node;
		using Node = BSTNode<K, V>;//using用法与typedef一样
	public:
		BSTree() = default;

		BSTree(const BSTree& t)
		{
			_root = Copy(t._root);
		}

		BSTree& operator=(BSTree tmp)
		{
			swap(_root, tmp._root);
			return *this;
		}

		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
			_root = nullptr;
		}

		bool Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					//不支持相等的值插入
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key, value);
			if (key > parent->_key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}

		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					//找到了
					return cur;
				}
			}

			//没有找到
			return nullptr;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;

			while (cur)
			{
				//找到要删除的key
				if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					//找到了，删除
					//左为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						//如果删除根节点
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							//判断cur是在parent左边还是右边,先连接
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}

						delete cur;
					}
					//右为空
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}

						delete cur;
					}
					//左右都不为空
					else
					{
						//找到右子树最左节点
						Node* replaceParent = cur;
						Node* replace = cur->_right;
						while (replace->_left)
						{
							replaceParent = replace;
							replace = replace->_left;
						}

						//最左节点赋值给原删除节点
						cur->_key = replace->_key;

						//连接replaceParent和replace后续节点
						if (replaceParent->_left == replace)
						{
							replaceParent->_left = replace->_right;
						}
						else
						{
							replaceParent->_right == replace->_right;
						}

						delete replace;
					}

					return true;
				}
			}

			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

	private:
		//中序遍历
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->_right);
		}

		//二叉树的销毁(后序)
		void Destroy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);
			delete root;
		}

		//深拷贝(前序)
		Node* Copy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return nullptr;
			}

			Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
			newRoot->_left = Copy(root->_left);
			newRoot->_right = Copy(root->_right);
			return newRoot;
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

场景1：

c 复制代码 
#include"BinarySearch.h"

int main()
{
	key_value::BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("right", "右边");
	dict.Insert("insert", "插入");
	dict.Insert("string", "字符串");

	string str;
	while (cin >> str)
	{
		auto ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << "->" << ret->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "无此单词，请重新输入:" << endl;
		}
	}

	return 0;
}

运行结果：

场景3：

c 复制代码 
#include"BinarySearch.h"

int main()
{
	string arr[]= { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
	"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
	key_value::BSTree<string, int> countTree;

	for (const auto& str : arr)
	{
		// 先查找水果在不在搜索树中
		// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>
		// 2、在，则查找到的节点中水果对应的次数++

		//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
		auto ret = countTree.Find(str);
		if (ret == nullptr)
		{
			countTree.Insert(str, 1);
		}
		else
		{
			ret->_value++;
		}
	}

	countTree.InOrder();

	return 0;
}

运行结果：

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