什么是区间DP
区间DP的特点:
- 可以将一个大区间的问题拆成若干个子区间合并的问题
- 两个连续的子区间可以进行整合、合并成一个大区间
区间DP一般遵循以下方法:

普通区间DP
例题1:石子合并
link:2.石子合并 - 蓝桥云课
code1:dfs + 记忆化搜索
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll MAXN = 200 + 7;
const ll inf = 0x3f3f3f3f;
ll n, a[MAXN], sum[MAXN], dp[MAXN][MAXN];// dp[i][j]表示a[i~ j] (闭区间)对应合并最小花费
ll dfs(ll l, ll r)
{
if(dp[l][r] != -1) return dp[l][r];
ll ret = inf;
if(l > r)
{
return inf;
}
if(l == r)
{
ret = 0;
}
else if(l + 1 == r)
{
ret = a[l] + a[r];
}
else
{
for(int k = l ; k + 1 <= r; k++)
{
ret = min(ret, dfs(l, k) + dfs(k+1ll, r) + sum[r] - sum[l - 1]);
}
}
dp[l][r] = ret;
return ret;
}
int main()
{
// input
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i], sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
// init dp
for(int i = 0; i < MAXN; i++)
for(int j = 0; j < MAXN; j++)
dp[i][j] = -1;
// dfs
ll ans = dfs(1, n);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
code2:DP
错误转移code,先枚举起点:

正确转移code,先由小到大枚举len:

例题2:涂色
link:1.涂色 - 蓝桥云课
分析:
状态表示:dp[l][r]表示str[i~r]对应的涂色最少步骤
状态转移(f即dp数组):
code(DP)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll MAXN = 50 + 7;
ll dp[MAXN][MAXN];
string str;
int main()
{
cin>>str;
int sz = str.size();
// init dp
memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
for(int i = 0; i < sz; i++) dp[i][i] = 1;
// dp
for(int len = 2; len <= sz; len++)
for(int l = 0, r = l + len - 1; r <= sz -1; l++, r = l + len - 1)
for(int k = l; k + 1 <= r; k++)
{
if(str[l] == str[r]) dp[l][r] = min(dp[l][r-1], dp[l + 1][r]);
//dp[l][r-1], dp[l + 1][r]两者相等,任选一个也可。
else dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r]);
}
cout<<dp[0][sz - 1]<<endl;
return 0;
}
tips
- 本题的难点是子区间合并时可能出现两端相同的特殊情况,如AAAAA,或AGRGA,此时若按dp[0][4] = min(dp[0][k] + dp[k + 1][4])进行状态转移,就会出错。
- 解决此难点也很简单,只要将两端相同情况转化为两端不同情况就可以继续使用dp[l][r] = min(dp[l][k] + dp[k + 1][r])进行状态转移了
- 解决此问题时,我们不必关心子问题如何解决(如AGRG拆分成A与GRG时,GRG是否能够计算正确),区间DP与dfs一样,我们只需用关心如何由子问题转移到此问题即可,而不用关心子问题是否正确。
例题3:制作回文串
link:1.制作回文串 - 蓝桥云课
分析:
- 合并两个子区间时,如ABCD 与E,最后回文串一定是删除右端E或左端新加一个E(选择花费最少的方案),不可能是将ABCD对应的回文串的左端修改为E(修改其他字符为E的花费大于直接新加一个E)
- 当前区间字符串两端字符不相等时,dp[l][r]一定是从dp[i][r-1]或dp[l+1][r]转移过来的,因为两端字符一定有且只有一个被增加/删除;
code(DP)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll cost[26 + 200], dp[2007][2007];
int main()
{
// input
ll N, M; cin>>N>>M;
string S;cin>>S;
for(int i = 1; i <= N; i++)
{
char ch;ll x,y; cin>>ch>>x>>y;
cost[ch] = min(x, y);
}
// dp
for(int len = 2; len <= M; len++)
for(int l = 0; l + len - 1 <= M - 1; l++)
{
ll r = l + len - 1;
if(S[l] == S[r])
{
if(len == 2)dp[l][r] = 0;
else dp[l][r] = dp[l + 1][r - 1];
}
else
{
dp[l][r] = min(cost[S[l]] + dp[l+1][r], dp[l][r - 1] + cost[S[r]]);
}
}
cout<<dp[0][M-1]<<endl;
return 0;
}
环形区间DP
什么是环形区间DP

环形区间DP要点:
- 数据的处理方法是将原区间复制一份在后边,总长度×2。
- 枚举的方法与普通区间DP一致。
- 统计答案时要枚举所有的答案区间,找出最优答案。
例题4:能量项链
link:1.能量项链 - 蓝桥云课
本题和例1没有任何区别,只是区间变成了环形,代价变成了首尾乘积,
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int hd[107 * 2], dp[107*2][107*2];
int main()
{
int N; cin>>N;
for(int i = 1; i <= N; i++) cin>>hd[i];
for(int i = 1; i <= N; i++) hd[i+N] = hd[i];
// dp
for(int len = 2; len <= N; len++)
for(int l = 1; l + len - 1 <= 2 * N; l++)
{
int r = l + len - 1;
for(int k = l; k <= r - 1; k++)
{
dp[l][r] = max(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r] + hd[l] * hd[k + 1] * hd[r + 1]);
}
}
int ans = 0;
for(int bg = 1; bg <= N; bg++)
{
ans = max(ans, dp[bg][bg + N - 1]);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}