概率论—随机事件与概率

考纲

事件的关系、运算与集合的关系、运算相当，且具有相同的运算法则，所以实在不会时可以考虑用文氏图来做。

事件运算顺序约定为先进行逆运算，然后进行交运算，最后进行并或差运算。

如果随机试验的样本空间满足：

则称随机试验的概率模型为古典模型 ，事件A的古典概率计算公式：
P ( A ) = 事件 A 所包含基本事件的个数基本事件总数 P(A) = \frac{事件A所包含基本事件的个数}{基本事件总数} P(A)=基本事件总数事件A所包含基本事件的个数

另外这里面可能会用到排列与组合的公式。

简而言之，基本事件无限且具有几何度量、等可能发生的随机试验为几何概型 。A的几何概率为：
P ( A ) = A 的几何度量 Ω 的几何度量 P(A) = \frac{A的几何度量}{\Omega的几何度量} P(A)=Ω的几何度量A的几何度量

常见的几何度量为面积或者体积，比如下面这道题：

一般的做题步骤就是先画图然后做计算。

有界性 ：对于任一事件A，有 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0≤P(A)≤1 0≤P(A)≤1，且 P ( ∅ ) = 0 P(\varnothing) = 0 P(∅)=0

Ω 表示一个人在8点到9点之间进入教室的所有可能时间。这是一个连续的时间区间（例如，从8:00到9:00），因此 Ω 是一个连续样本空间。

事件 A 表示"恰好8:30到达教室"。**在连续概率分布中，任何单个时间点的概率都为零。**这是因为概率是通过积分计算的：概率密度函数在单个点上的积分为零。

**例如，如果到达时间均匀分布在8点到9点之间，那么概率密度函数是常数（f(t) = 1/60，其中 t 是以分钟计的时间）即使事件 A 可能发生（理论上有人可能正好在8:30到达），但其概率为零。**这类似于在一条线上选一个点，选到特定点的概率为零。
两个重要结论：

P ( A ) = 0 ≠ > A = ∅ P(A)=0 ≠> A=\varnothing P(A)=0=>A=∅： **概率为0的事件不一定是不可能事件。**它只是意味着该事件发生的"机会"或"测度"为0，但在无限多的可能性中，它仍然可能发生。
P ( A ) = 1 ≠ > A = Ω P(A)=1 ≠> A=Ω P(A)=1=>A=Ω： **概率为1的事件不一定是必然事件。**它意味着该事件"几乎肯定"会发生，但样本空间中可能存在一些"例外点"，这些点的集合的测度为0。

比如：几何概率 - 在平面上随机选一个点

样本空间 Ω：单位正方形 [0,1]×[0,1] 内的所有点

事件 A： "点恰好落在对角线 y=x 上"。
分析：对角线是一条没有宽度的"线"。它的面积（2维测度）为0。因此，随机扔一个点恰好落在这条线上的概率 P(A) = 0。
结论： P(A)=0 ，但 A 显然不是空集，因为对角线上有无限多个点（例如(0,0), (0.5,0.5), (1,1)等都是可能的结果）。
事件 B： "点没有落在对角线 y=x 上"。
分析： P(B) = 1 - P(A) = 1。
结论： P(B)=1，但 B 不等于整个样本空间 Ω，因为它排除了对角线上的所有点。

设A,B为两个事件，如果 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立，简称A与B独立。

在第二讲中会进一步看到应用，如果用X表示n重伯努利概型中事件A发生的次数，则X服从二项分布B(n,p)

如果简单的题做错，那么真正在考场上的时候怎么办？