点分治之砍树大师

从"分治"到"点分治"

在算法世界里，"分治"几乎是最经典的套路：把一个大问题拆成若干规模较小的子问题，递归解决，再把答案拼接。归并排序、快速幂，都是这样耳熟能详的例子。

数组有天然的"中点"，可以左右对半分；而无根树由节点与边连接，我们也可以选择一个节点，将树分为多个部分分治，这就叫做"点分治"。

不过，树没有一个显眼的"中间位置"。如果随便选择一个点砍掉，得到的子树大小可能极不均衡，递归效率就会大打折扣。这时，就需要一个"树上的中点"------它能保证我们每次分裂后，剩下的子树都不会太大。这个"中点"，正是重心（centroid）。

于是我们就得到了"点分治"------在树上实现分治的一种方式。核心套路是：

找出树的重心。
处理所有"经过重心"的答案。
删除重心，递归处理每个子树。

每一步看似简单，合在一起就是一个强大的框架。

点分治的思想与重心

我们来看一个需要点分治解决的经典问题：

给定一棵 无根带权树 （边权为正整数），有 \(M\) 个询问，每个询问给出一个整数 \(k\)，问树上有多少对点 \(\{u, v\}\) 满足 距离(u, v) = k。

总的来说，点分治用分治的方法来统计路径，他的思想是：

选一个点作为根节点。
这样一来，所有路径要么两端来自两个子树并经过根节点（一端刚好就在根节点的也可以算作这个情况），要么两端都在同一个子树内，那么它没有经过根节点而完整地落在某个子树里，这就交给下一层递归去处理。
只处理前一种情况，然后我们递归处理每一个子树，后一种情况最终一定在某个子树里被统计到。这样，每一条路径在整个递归中只会被统计一次，不会重复，不会漏掉。

为什么要经过重心？

重心的定义：如果在无根树中选择某个节点以他为根，使得所有子树大小的最大值达到最小，那么这个点就是树的重心。重心可能不唯一，但一定存在。重心就像是树的"平衡点"，它让树的分治递归变得可行且优雅，根据定义每个子树至多是原树的一半。

每层递归都会处理一棵规模为 \(N\) 的树，工作量是 \(O(N)\)。重心的性质保证子树最大规模 ≤ N/2，所以树的规模会对半缩小。递归深度约 \(O(\log N)\)。总体复杂度就是 \(O(N \log N)\)。

简单来说，每一次迭代都选取中心为根节点，才能保证子树规模快速减小。

标准流程

找重心：DFS 统计子树大小，选出"最大子树最小"的点作为重心。
收集信息：从重心出发，DFS 收集到各子树的路径信息。
合并答案：用数据结构（桶、哈希、bitset......）处理跨子树的路径组合。
递归下去：删除重心，在子树里继续重复上面的过程。注意，新的子树要重新找他自己的重心而不是原重心的子节点。

这四步就是点分治的主干骨架。不同问题，只是在第 2、3 步处理信息的方式不一样。

典型应用：树上距离 = k 的点对计数

回到上文经典问题。朴素做法枚举点对或者暴力搜索都是平方起步，肯定不行。点分治可以 \(O(N \log N)\) 高效解决问题。

用点分治怎么做？

在当前重心 \(c\)，考虑所有经过 \(c\) 的路径。这些路径可以拆成"两段"：dist(u,c) + dist(v,c)，我们只要在不同子树之间做"配对"即可。

以重心为根 ：从重心出发，DFS 子树，收集 dist(c, x)。
配对查询 ：设当前子树的距离集合为 D_sub，全局已有距离集合为 freq（来自之前处理过的子树）。
- 对每个 \(d \in D_{sub}\)，对每个询问 \(k\)，若 freq[k - d] > 0，则说明存在路径 (x, y) 距离为 \(k\)。
更新集合 ：处理完配对后，把 D_sub 的元素加入 freq，供后面子树使用。
递归：删去重心，继续对子树点分治。

图的存储

我们用邻接表保存树：

cpp 复制代码

struct Edge {
    int to, w;
};
vector<vector<Edge>> g;  // g[u] 存储节点 u 的所有邻边

重心查找

重心 = 删除后，剩余子树最大规模最小的点。

cpp 复制代码

int n; 
vector<int> sz, max_sub;
vector<bool> vis;

int find_centroid(int u, int fa, int tot, int &best, int &root) {
    sz[u] = 1;
    max_sub[u] = 0;
    for (auto [v, w] : g[u]) {
        if (v == fa || vis[v]) continue;
        find_centroid(v, u, tot, best, root);
        sz[u] += sz[v];
        max_sub[u] = max(max_sub[u], sz[v]);
    }
    max_sub[u] = max(max_sub[u], tot - sz[u]);
    if (max_sub[u] < best) {
        best = max_sub[u];
        root = u;
    }
    return root;
}

收集距离（getDis）

DFS 收集从重心出发的所有距离。

cpp 复制代码

void get_dist(int u, int fa, int d, vector<int> &dis) {
    dis.push_back(d);
    for (auto [v, w] : g[u]) {
        if (v == fa || vis[v]) continue;
        get_dist(v, u, d + w, dis);
    }
}

点分治

用一个哈希表/数组来保存 freq（已有子树的距离）。
先查后加 避免同子树内重复配对。

cpp 复制代码

unordered_map<int,int> freq;  // 距离频次数组
vector<int> ks;               // 询问集合
vector<long long> ans;        // 每个询问的答案

void solve_centroid(int u, int tot) {
    // 1. 找重心
    int best = 1e9, root = -1;
    find_centroid(u, -1, tot, best, root);
    u = root;
    vis[u] = true;

    // 2. 处理经过重心的路径
    freq.clear();
    freq[0] = 1;  // 重心自身到重心的距离为 0

    for (auto [v, w] : g[u]) {
        if (vis[v]) continue;
        vector<int> dis;
        get_dist(v, u, w, dis);

        // 查询阶段（先查）
        for (int d : dis) {
            for (int i = 0; i < (int)ks.size(); i++) {
                // 这里每一个询问就分别查询了，假定询问不多。毕竟本文主题是点分治
                int k = ks[i];
                if (freq.count(k - d)) ans[i] += freq[k - d];
            }
        }

        // 更新阶段（再加）
        for (int d : dis) freq[d]++;
    }

    // 3. 递归到子树
    for (auto [v, w] : g[u]) {
        if (!vis[v]) solve_centroid(v, sz[v] < sz[u] ? sz[v] : tot - sz[u]);
    }
}

参考主函数

cpp 复制代码

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int m;
    cin >> n >> m;
    g.assign(n+1, {});
    sz.assign(n+1, 0);
    max_sub.assign(n+1, 0);
    vis.assign(n+1, false);

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back({v, w});
        g[v].push_back({u, w});
    }

    ks.resize(m);
    ans.assign(m, 0);
    for (int i = 0; i < m; i++) cin >> ks[i];

    solve_centroid(1, n);

    for (int i = 0; i < m; i++)
        cout << ans[i] << "\n";
}

效率

点分治的复杂度经常让人觉得"魔法般的高效"。我们来直观理解一下。

每层递归 ：每层总共处理一棵大小为 \(N\) 的树，做的事就是找重心、收集距离、更新答案，复杂度 O(N)。
重心的性质：删掉重心后，剩余每个子树大小 ≤ N/2。
递归层数 ：因此子树的规模每次都对半缩小，层数就是 O(log N)。总体复杂度就是 O(N log N)。

点分治还能做什么

点分治的强大之处在于它的"框架性"：

找重心 → 收集信息 → 合并答案 → 递归。
不同问题，只需更换"收集信息 & 合并答案"的逻辑。

有了这一套思路，还可以解决很多其他问题：

计数问题的各种变种：距离在区间 [L, R] 的点对个数或者存在性或距离和满足某种模数约束（如 % m = 0）。只需在配对阶段稍作修改。
统计其他各种路径问题：有些"求解具有某性质的路径数量"，经过转化可能也可以使用点分治处理。
动态问题：当树节点被染色/标记时，实时维护"距离最近的某种颜色节点"，在线处理多次插入/查询的"树上最近红点"问题。