跳表（Skip List）是一种基于概率平衡的数据结构，通过多层有序链表实现高效的查找、插入和删除操作。它在最坏情况下时间复杂度为 (O(n))，但通过随机化设计，平均时间复杂度可优化至 (O(\log n))，与平衡二叉搜索树性能相当，但实现更为简单。
1. 什么是跳表？
想象一下，你有一本非常厚的电话簿，里面的名字是按字母顺序排列的。现在你想找 "Zhang San" 这个名字。
- 方法一（链表/线性查找）：从第一页的第一个名字 "A" 开始，一页一页地翻，直到找到 "Z"。这非常慢。
- 方法二（跳表） ：聪明的电话簿出版商在书的侧面 贴上了一些"索引标签"。比如：
- 第一个标签指向 "B" 开头的部分。
- 第二个标签指向 "G" 开头的部分。
- 第三个标签指向 "M" 开头的部分。
- 第四个标签指向 "S" 开头的部分。
- 第五个标签指向 "Z" 开头的部分。
现在你找 "Zhang San"：
- 你先看侧面的标签，发现 "Zhang" 的首字母 "Z" 在 "S" 和 "Z" 之间。于是你直接翻到 "S" 标签指向的页面。
- 从 "S" 开始，你继续向后翻，因为 "Z" 在 "S" 之后。你可能还会看到一些更细分的标签，比如 "T", "W", "X" 等，帮助你更快地定位。
- 很快，你就找到了 "Z" 开头的部分，然后在这个小范围内顺序查找，最终找到 "Zhang San"。
跳表就是这种"带有多级索引的有序链表"。它通过在原始有序链表之上建立多级"索引"层，来大幅提升查找效率，使得查找、插入、删除操作都能在接近对数的时间复杂度内完成。
2. 为什么需要跳表？
跳表是为了解决有序链表的痛点而诞生的。
- 有序链表的优点 ：
- 插入和删除操作非常快，只需要修改相邻节点的指针，时间复杂度为 **O(1)**在找到位置后。
- 有序链表的致命缺点 ：
- 查找效率极低 。由于不能像数组那样通过下标随机访问，查找一个元素必须从头节点开始逐个遍历，时间复杂度为 O(n)。当数据量很大时，这个性能是无法接受的。
我们希望有一种数据结构，既能保持链表高效的插入/删除特性，又能拥有像平衡二叉搜索树那样 O(log n) 级别的查找效率。
跳表就是答案之一。它通过增加空间（建立索引）来换取时间，完美地平衡了查找、插入、删除的性能。
3. 跳表的结构与原理
一个跳表由以下几部分构成：
- 基础层 ：最底层是一个标准的有序链表，包含了所有的元素。
- 索引层 ：在基础层之上，有多层稀疏的"索引"链表。
- 每一层都是一个有序链表。
- 第
L+1层的元素是第L层元素的一个子集。 - 上层的每个节点，都有一个指针指向其在下层中相同的节点。
- 头节点：所有层的链表都共享一个头节点，方便从最高层开始查找。
- 概率性：一个节点出现在多少层索引中，是通过**"抛硬币"**这样的随机算法决定的。这保证了跳表的平衡性，避免了像平衡树那样复杂的旋转操作。
结构示意图：
假设我们有基础链表 1 <-> 3 <-> 4 <-> 5 <-> 7 <-> 8 <-> 10
一个可能的跳表结构如下：
Level 3: ------------------------> 8 ------------------------> NULL
| |
Level 2: ----> 3 ----------------> 8 ------------------------> NULL
| | |
Level 1: ----> 3 ------> 5 ------> 8 ------> 10 -------------> NULL
| | | | |
Level 0: -> 1 <-> 3 <-> 4 <-> 5 <-> 7 <-> 8 <-> 9 <-> 10 -> NULL解读：
- Level 0 是基础层，包含所有元素。
- Level 1 包含了
{3, 5, 8, 10}，它们是 Level 0 的一个子集。 - Level 2 包含了
{3, 8}，是 Level 1 的一个子集。 - Level 3 只包含了
{8}。 - 每个上层的节点都通过一个向下的指针连接到下层对应的节点。
4. 操作详解
a. 查找
查找是跳表最核心的操作，插入和删除都依赖于它。查找过程遵循"先高层后低层，先大步后小步"的原则。
目标：查找元素 5
- 从最高层开始 ：从头节点
Head的 Level 3 开始。 - Level 3 查找 ：
- 当前节点是
Head，下一个节点是8。 5 < 8，说明5在Head和8之间。不能在 Level 3 继续向右走了。- 向下 ：移动到 Level 2 的
Head节点。
- 当前节点是
- Level 2 查找 ：
- 当前节点是
Head，下一个节点是3。 5 > 3，可以继续向右走。移动到节点3。- 在节点
3，它的下一个节点是8。 5 < 8，说明5在3和8之间。不能在 Level 2 继续向右走了。- 向下 ：移动到 Level 1 的节点
3。
- 当前节点是
- Level 1 查找 ：
- 当前节点是
3，下一个节点是5。 5 == 5，找到目标！
- 当前节点是
如果查找 6：
- ... (过程同上，直到 Level 1 的节点
5) - 在 Level 1 的节点
5，下一个节点是8。 6 < 8，不能向右。- 向下 ：移动到 Level 0 的节点
5。 - Level 0 查找 ：
- 当前节点是
5，下一个节点是7。 6 < 7，且6 != 5，说明6不存在。
- 当前节点是
查找路径总结 ：Head(L3) -> Head(L2) -> 3(L2) -> 3(L1) -> 5(L1)。
b. 插入
插入分为两步：查找位置 和 随机建层。
目标：插入元素 6
-
查找插入位置：
- 按照查找
6的方法，找到它在 Level 0 中的前驱节点。从上面的查找过程可知，6应该插入在5和7之间。我们需要记录下每一层中6的前驱节点，这里主要是 Level 0 的5。 - 在实际操作中，我们会在查找过程中维护一个
update数组，记录每一层中待插入位置的前驱节点。
- 按照查找
-
随机决定层数：
- 这是跳表的精髓。我们通过一个随机函数（比如，模拟抛硬币）来决定新节点
6要"晋升"到多少层。 - 算法 ：初始化层数
level = 1。然后循环，每次有p(通常p=1/2或1/4) 的概率level++，直到失败为止。level不能超过跳表当前的最大层数。 - 假设我们"抛硬币"的结果是：第一次成功（
level=2），第二次成功（level=3），第三次失败。那么新节点6的层数就是3。
- 这是跳表的精髓。我们通过一个随机函数（比如，模拟抛硬币）来决定新节点
-
插入节点并更新指针：
- 如果新节点的层数
3大于当前跳表的最大层数（比如是2），则需要增加一个新的 Level 3 层。 - 从
level=3开始，逐层向下插入新节点：- Level 3 ：将
6插入到update[3](即Head) 之后。Head -> 6。 - Level 2 ：将
6插入到update[2](即3) 之后。3 -> 6。 - Level 1 ：将
6插入到update[1](即5) 之后。5 -> 6。 - Level 0 ：将
6插入到update[0](即5) 之后。5 -> 6 -> 7。
- Level 3 ：将
- 同时，要确保新节点
6在每一层的实例都通过down指针连接起来。
- 如果新节点的层数
c. 删除
删除操作比插入简单，因为它不需要随机建层。
目标：删除元素 5
-
查找待删除节点：
- 首先查找
5。在查找过程中，同样需要记录每一层中5的前驱节点（update数组）。 - 如果找不到
5，则删除失败。
- 首先查找
-
逐层删除：
- 从
5存在的最高层开始（比如 Level 1），逐层向下删除。 - 在每一层，修改前驱节点（
update[i]）的next指针，使其指向5的后继节点。 - Level 1 ：
update[1]是3，将3->next从指向5改为指向8。 - Level 0 ：
update[0]是4，将4->next从指向5改为指向6。 - 这样，
5在所有层中的引用都被移除了，垃圾回收器会自动回收内存。
- 从
-
（可选）清理空层：如果删除某个节点后，最高层只剩下一个头节点，可以考虑移除这一层以节省空间。
5. 性能分析
-
时间复杂度：
- 查找、插入、删除 ：平均时间复杂度均为 O(log n)。
- 最坏情况 ：如果运气极差，所有节点都在同一层，那么跳表就退化成了普通链表，时间复杂度为 O(n)。但由于层数是随机决定的，这种情况的概率极低，可以忽略不计。
-
空间复杂度：
- 平均空间复杂度为 O(n)。
- 每个节点被包含在第
i层索引中的概率是p^(i-1)。一个节点平均包含的指针数是1/(1-p)。 - 当
p = 1/2时，每个节点平均有1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2个指针（一个next，一个down）。所以总空间开销大约是基础链表的 2 倍，即 O(2n) = O(n)。
6. 跳表的优缺点
优点：
- 性能均衡：查找、插入、删除的性能都非常优秀，都是 O(log n)。
- 实现简单：相比于红黑树、AVL树等平衡二叉搜索树，跳表的实现逻辑要简单得多，没有复杂的旋转和颜色变换操作。
- 天然有序：底层是有序链表，非常适合需要范围查询的场景（如 "查找所有 score 在 100 到 200 之间的元素"）。
- 并发友好：由于跳表的修改操作（插入、删除）通常只影响局部节点，不像平衡树那样可能引起全局性的结构调整，因此更容易实现高效的并发控制。Redis 的作者就曾评价，跳表在并发环境下比平衡树更有优势。
缺点：
- 空间开销：需要额外的空间来存储多层索引，空间复杂度高于普通链表和平衡树（虽然都是 O(n)，但常数因子更大）。
- 非最坏情况保证：性能是概率性的，虽然最坏情况概率极低，但不像平衡树那样能提供硬性的性能保证。
7. 实际应用
跳表最著名的应用是在 Redis 中。
-
Redis 的有序集合 ：Redis 的 ZSET (Sorted Set) 数据结构，在元素数量较少时使用 ziplist （压缩列表）来节省内存，当元素数量超过阈值（
zset-max-ziplist-entries）时，会转换为 跳表 + 哈希表 的实现。- 跳表 ：负责按
score排序，支持高效的范围查找、按 rank 查找等操作。 - 哈希表 ：负责建立
member到score的映射，支持 O(1) 复杂度的按member查找score。 - 这种组合完美地发挥了两种数据结构的优势。
- 跳表 ：负责按
-
LevelDB / RocksDB：这些著名的键值存储引擎在其内部内存表（MemTable）的实现中也使用了跳表。
8. 与其他数据结构的对比
| 特性 | 跳表 | 平衡二叉搜索树 (如红黑树) | 哈希表 |
|---|---|---|---|
| 查找 | O(log n) 平均 | O(log n) 最坏 | O(1) 平均 |
| 插入 | O(log n) 平均 | O(log n) 最坏 | O(1) 平均 |
| 删除 | O(log n) 平均 | O(log n) 最坏 | O(1) 平均 |
| 有序性 | 天然有序，范围查询高效 | 天然有序，范围查询高效 | 无序，不支持范围查询 |
| 实现复杂度 | 相对简单 | 复杂（旋转/变色） | 简单 |
| 空间开销 | 较高 (约 2n) | 较低 (n) | 可能有额外开销（解决冲突） |
| 并发友好性 | 高（局部修改） | 较低（结构调整可能影响大） | 需要处理哈希冲突和扩容 |
总结：
跳表是一种非常精巧的数据结构，它用一种简单而优雅的方式，在有序链表的基础上通过"空间换时间"和"随机化"思想，实现了与平衡树相媲美的对数级性能。它实现简单、性能均衡、并发友好，特别适合作为内存数据库 和索引的底层实现，是程序员工具箱中一个非常有价值的工具。