题⽬描述
输⼊⼀个整型数组，数组⾥有正数也有负数。数组中的⼀个或连续多个整数组成⼀个⼦数组。求所有⼦数组的和的最⼤值。要求时间复杂度为 O(n) .
示例1
输⼊：1,-2,3,10,-4,7,2,-5
返回值：18
输⼊的数组为 {1,-2,3,10,-4,7,2,-5} ，和最⼤的⼦数组为 {3,10,-4,7,2} ，因此输出为该⼦数组的和 18 。
思路及解答
暴⼒破解
通过两层循环枚举所有可能的子数组起点和终点，计算每个子数组的和并记录最大值。
java
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int n = nums.length;
int maxSum = Integer.MIN_VALUE; // 初始化为最小整数，以处理全负数数组
for (int i = 0; i < n; i++) {
int currentSum = 0; // 记录从i开始到j的子数组和
for (int j = i; j < n; j++) {
currentSum += nums[j]; // 累加当前元素
if (currentSum > maxSum) {
maxSum = currentSum; // 更新全局最大和
}
}
}
return maxSum;
}
}- 时间复杂度：O(n²)，因为有两层嵌套循环。
- 空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。
分治法
分治法将数组分成左右两半，分别递归求解左右半边的最大子数组和，再计算跨越中点的最大子数组和，最后合并结果。
java
public class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
return divideAndConquer(nums, 0, nums.length - 1);
}
private int divideAndConquer(int[] nums, int left, int right) {
if (left == right) {
return nums[left]; // 递归基：只有一个元素
}
int mid = left + (right - left) / 2;
int leftMax = divideAndConquer(nums, left, mid); // 左半部分的最大子数组和
int rightMax = divideAndConquer(nums, mid + 1, right); // 右半部分的最大子数组和
int crossMax = maxCrossingSum(nums, left, mid, right); // 跨越中点的最大子数组和
return Math.max(Math.max(leftMax, rightMax), crossMax); // 返回三者中的最大值
}
private int maxCrossingSum(int[] nums, int left, int mid, int right) {
int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
int sum = 0;
for (int i = mid; i >= left; i--) { // 从中点向左扫描
sum += nums[i];
if (sum > leftSum) {
leftSum = sum;
}
}
int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
sum = 0;
for (int i = mid + 1; i <= right; i++) { // 从中点向右扫描
sum += nums[i];
if (sum > rightSum) {
rightSum = sum;
}
}
return leftSum + rightSum; // 合并左右两部分的和
}
}- 时间复杂度：O(n log n)，由递归树深度（log n）和每层合并操作（n）决定。
- 空间复杂度：O(log n)，递归调用栈的深度。
动态规划
⾸先我们定义这个问题：
dpi 表示下标以i结尾的连续⼦数组的最⼤和，假设数组⼤⼩为 n ,那么最终求解的就是 dpn-1 。
下标以 i 结尾的连续⼦数组的最⼤和，怎么求呢？
要想求 dpi ,那我们现在假设⼀下，假设下标以i-1 结尾的连续⼦数组的最⼤和为 dpi-1 ,数组第 i 个元素是 numsi ，那么当前的连续⼦数组的最⼤和，要么是前⾯的加上当前的元素： dpi-1+numsi ，要么是舍弃掉之前的 dpi-1（这个很可能是负数） ，取现在的 numsi ;
因此，状态转移⽅程为：dpi = max{dpi-1+numsi , numsi}
但是，值得注意的是， Max{dpi-1+numsi,numsi} 求得的仅仅是以 i 下标结尾的⼦数组的最⼤和，之前计算的连续⼦数组最⼤和需要保存起来，不断的和当前计算的最⼤和⽐较，取最⼤值。
java
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
int res = array[0]; //记录当前所有⼦数组的和的最⼤值
int[] dp = new int[array.length];
dp[0] = array[0];
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i-1] + array[i], array[i]);
res = Math.max(max, res);
}
return res;
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
这里只用到了dpi和dpi-1，显然还可以再优化。即
java
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
int res = array[0]; //记录当前所有⼦数组的和的最⼤值
int max = array[0]; //包含array[i]的连续数组最⼤值
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
max = Math.max(max + array[i], array[i]);
res = Math.max(max, res);
}
return res;
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)，只使用了两个变量。