剑指offer-30、连续⼦数组的最⼤和

题⽬描述

输⼊⼀个整型数组，数组⾥有正数也有负数。数组中的⼀个或连续多个整数组成⼀个⼦数组。求所有⼦数组的和的最⼤值。要求时间复杂度为 O(n) .

示例1

输⼊： $1,-2,3,10,-4,7,2,-5$

返回值：18

输⼊的数组为 {1,-2,3,10,-4,7,2,-5} ，和最⼤的⼦数组为 {3,10,-4,7,2} ，因此输出为该⼦数组的和 18 。

思路及解答

暴⼒破解

通过两层循环枚举所有可能的子数组起点和终点，计算每个子数组的和并记录最大值。

java 复制代码

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE; // 初始化为最小整数，以处理全负数数组

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int currentSum = 0; // 记录从i开始到j的子数组和
            for (int j = i; j < n; j++) {
                currentSum += nums[j]; // 累加当前元素
                if (currentSum > maxSum) {
                    maxSum = currentSum; // 更新全局最大和
                }
            }
        }
        return maxSum;
    }
}

时间复杂度：O(n²)，因为有两层嵌套循环。
空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。

分治法

分治法将数组分成左右两半，分别递归求解左右半边的最大子数组和，再计算跨越中点的最大子数组和，最后合并结果。

java 复制代码

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return divideAndConquer(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    private int divideAndConquer(int[] nums, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return nums[left]; // 递归基：只有一个元素
        }

        int mid = left + (right - left) / 2;
        int leftMax = divideAndConquer(nums, left, mid); // 左半部分的最大子数组和
        int rightMax = divideAndConquer(nums, mid + 1, right); // 右半部分的最大子数组和
        int crossMax = maxCrossingSum(nums, left, mid, right); // 跨越中点的最大子数组和

        return Math.max(Math.max(leftMax, rightMax), crossMax); // 返回三者中的最大值
    }

    private int maxCrossingSum(int[] nums, int left, int mid, int right) {
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
        int sum = 0;
        for (int i = mid; i >= left; i--) { // 从中点向左扫描
            sum += nums[i];
            if (sum > leftSum) {
                leftSum = sum;
            }
        }

        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
        sum = 0;
        for (int i = mid + 1; i <= right; i++) { // 从中点向右扫描
            sum += nums[i];
            if (sum > rightSum) {
                rightSum = sum;
            }
        }

        return leftSum + rightSum; // 合并左右两部分的和
    }
}

时间复杂度：O(n log n)，由递归树深度（log n）和每层合并操作（n）决定。
空间复杂度：O(log n)，递归调用栈的深度。

动态规划

⾸先我们定义这个问题：

dp $i$ 表示下标以i结尾的连续⼦数组的最⼤和，假设数组⼤⼩为 n ,那么最终求解的就是 dp $n-1$ 。

下标以 i 结尾的连续⼦数组的最⼤和，怎么求呢？

要想求 dp $i$ ,那我们现在假设⼀下，假设下标以i-1 结尾的连续⼦数组的最⼤和为 dp $i-1$ ,数组第 i 个元素是 nums $i$ ，那么当前的连续⼦数组的最⼤和，要么是前⾯的加上当前的元素： dp $i-1$ +nums $i$ ，要么是舍弃掉之前的 dp $i-1$ （这个很可能是负数），取现在的 nums $i$ ;

因此，状态转移⽅程为：dp $i$ = max{dp $i-1$ +nums $i$ , nums $i$ }

但是，值得注意的是， Max{dp $i-1$ +nums $i$ ,nums $i$ } 求得的仅仅是以 i 下标结尾的⼦数组的最⼤和，之前计算的连续⼦数组最⼤和需要保存起来，不断的和当前计算的最⼤和⽐较，取最⼤值。

java 复制代码

public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
	int res = array[0]; //记录当前所有⼦数组的和的最⼤值
	int[] dp = new int[array.length]; 
	dp[0] = array[0]; 
	
	for (int i = 1; i < array.length; i++) {
		dp[i] = Math.max(dp[i-1] + array[i], array[i]);
		res = Math.max(max, res);
	}
	
	return res;
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

这里只用到了dp $i$ 和dp $i-1$ ，显然还可以再优化。即

java 复制代码

public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
	int res = array[0]; //记录当前所有⼦数组的和的最⼤值
	int max = array[0]; //包含array[i]的连续数组最⼤值
	
	for (int i = 1; i < array.length; i++) {
		max = Math.max(max + array[i], array[i]);
		res = Math.max(max, res);
	}
	
	return res;
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)，只使用了两个变量。