2025年中国研究生数学建模竞赛C题
围岩裂隙精准识别与三维模型重构
煤炭是我国的主要能源，国家特别注重发展新质生产力实现煤矿安全、高效、智能化开采。井工煤矿开采是一个复杂的地下工程系统（如图1所示），其中巷道作为煤炭生产的咽喉和必要工程，承担着井下通风、材料及煤炭运输等关键功能。然而，巷道围岩内部肉眼难见的裂隙网络，常因探测不清、不准，不及时控制而引发冒顶、突水、瓦斯突出等安全事故，严重威胁生命财产安全[1,2]。因此，定量分析裂隙的几何特征，对煤矿安全生产具有重要意义。
图1 井工煤矿开采示意图[3]
传统围岩探测方法仍以"地质切片式"的岩芯取样为主，具有耗时长、成本高、劳动强度大的缺点。相比之下，钻孔成像技术则充分利用煤矿巷道锚杆支护过程中形成的钻孔对孔壁岩层进行高精度扫描，实现岩层内部结构的可视化数据采集。该技术的核心组件包括探头、主机、深度计数器、推杆和电缆线等。其中，探头一般采用高清摄像头，可对孔壁岩层进行360°全景扫描，并通过电缆线将高清图像传输至主机[4,5]。操作时，将探头安装在推杆上人工匀速推进，深度计数器通过监测电缆线的放出长度实时记录探头的位置。
图2 锚杆支护示意图[6]
钻孔成像展开图呈现岩体内部的二维裂隙图像。实际地质环境中，裂隙通常为复杂的三维曲面结构，但大部分曲率较低，可近似视为平面。当该平面与钻孔中轴线斜交时，其与钻孔表面的交线呈椭圆形。在直径均为30mm的钻孔成像展开图中，这种椭圆交线表现为具有周期性变化的正弦曲线，称为"正弦状"裂隙。这是平面裂隙在柱坐标系展开后的典型表现，在煤系地层钻孔成像中较为常见，如图3所示[7]。
图3 典型"正弦状"裂隙及展开图
然而，图像中的"正弦状"曲线并非都是裂隙，也可能是岩层界面。可依据"张开距离"和"填充材质"进行判断：若曲线有明显张开（展开图中裂隙宽度超过1mm）且内部被水、气体或其他与岩石基质不同的物质填充，则可判断为裂隙。反之，若曲线两侧紧密贴合、无明显张开，且两边岩石过渡自然连续，则判断为岩层界面。
在准确区分裂隙与岩层界面后，钻孔成像技术在实际应用中仍面临三大难题：①地质"杂音"干扰大------岩石天然纹理、孔壁残留泥浆、钻头钻进痕迹在图像中形成的干扰；②人工判读耗时长------资深工程师需要依赖经验耗费3-5小时分析单孔图像，且不同专家判断结果差异性大；③地质模型重构难------现有技术难以将不同钻孔的二维图像拼接成连续的三维地质模型。
在钻孔成像实施过程中，我们精选了典型煤系地层（如图4所示）的随钻探测图像作为研究数据。
图4 煤系常见地质构造图（改绘自文献[8]）
请利用"附件"中的数据集，解决以下问题：
问题1：基于像素分类的裂隙智能识别
钻孔成像展开图中的裂隙识别是后续所有问题研究的基础。然而，实际钻孔成像展开图中存在大量干扰因素，例如岩石天然纹理、孔壁残留泥浆、钻头钻进痕迹、图像拼接线等，如图5所示。这些干扰因素在图像中往往与真实裂隙呈现相似的视觉特征，使得裂隙识别面临严峻挑战。
| 规则裂隙与纹理 | (b)规则裂隙与钻进痕迹 | (c) 泥浆与图像拼接线 |
图5 钻孔成像图中各种干扰因素
图5 (c) 所示白色和黑色竖直条纹实际上都与泥浆干扰有关。白色竖直区域主要是由于钻孔泥浆粘附到成像镜头表面，在光源照射下形成的高亮度伪影；黑色竖直条纹则是泥浆在孔壁流淌过程中留下的痕迹，或者是光照不均匀造成的阴影区域。
请利用附件1中的数据解决以下问题：
（1）建立数学模型，实现对钻孔成像展开图中裂隙像素的自动识别，模型应考虑到岩石纹理、钻进痕迹及泥浆污染等干扰因素的影响。
（2）利用上述模型对附件1中的数据生成识别与分类结果。
结果呈现要求：所有识别结果以问题1附件方式提交；论文正文中仅需重点呈现附件1中图1-1、图1-2和图1-3的分析过程与结果。识别结果应以与原图像具有相同像素尺寸的二值化图像形式呈现，其中裂隙像素用黑色表示，其他像素用白色表示。
问题模型建立与求解
问题一：
建模目标与变量约定
多尺度裂隙度响应
自适应阈值与像素级二分类
竖直干扰条带的几何剔除
结果指标与质控量
求解结果与分析
1.图1-1 的识别结果
2.图1-2 的识别结果
3.图1-3 的识别结果
4.跨图对比与整体稳定性
| image | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| main1 | 附件1\图1-1.jpg | 1350 | 244 | 0.18507589556769885 | 0.9862519928344653 | 132 | 9801 | 74.25 | 0.483539897987633 | 0.034406601586704326 |
| main2 | 附件1\图1-2.jpg | 1350 | 244 | 0.1137431693989071 | 0.9939616504103057 | 47 | 6025 | 128.19148936170214 | 1.7675415078157197 | 3.42183153818898 |
| main3 | 附件1\图1-3.jpg | 1350 | 244 | 0.2134547662416515 | 0.9962360817703861 | 83 | 10743 | 129.43373493975903 | 1.4043414789587303 | 2.223584858871304 |
问题2："正弦状"裂隙的定量分析建模
图3展示了典型的"正弦状"裂隙及其展开图。在钻孔成像展开图的二维平面中，建立如下坐标系：横轴x表示钻孔周向展开距离（单位：mm，范围0~钻孔周长），纵轴y表示钻孔轴向深度（单位：mm）。基于此坐标系，"正弦状"裂隙可以用以下数学模型进行表征：
其中，R 为振幅（单位：mm），P 为周期（对于完整的正弦状裂隙，等同于钻孔周长，单位：mm），β 为相位（单位：rad），C为中心线位置（单位：mm）。
请利用附件2中的数据解决以下问题：
（1）建立数学模型，利用公式（1）实现对钻孔成像展开图中裂隙的自动聚类与表征。
（2）利用上述模型对附件2中的数据给出聚类表征结果及其分析。
结果呈现要求：所有表征与分析结果以表1形式在论文正文中给出，并重点展现附件2中图2-1、图2-2和图2-3的分析过程与结果。
表1 "正弦状"裂隙的定量分析建模结果汇总
| 图像编号 | 裂隙编号 | 振幅R(mm) | 周期P (mm) | 相位β (rad) | 中心线位置C (mm) |
|---|---|---|---|---|---|
坐标与尺度、像素到物理量换算
"正弦状"裂隙的几何模型
候选像素与骨架点集
多裂隙聚类(DBSCAN)
鲁棒正弦拟合(RANSAC+非线性最小二乘)
问题2 结果求解与分析
-- 图2-1：
-- 图2-2：
-- 图2-3：
问题3：复杂裂隙的定量分析建模
实际工程中，岩体裂隙受风化、构造应力、矿物充填、剪切错动等地质作用影响，表面形态复杂且粗糙度显著。工程实践中常用粗糙度轮廓指数（JRC, Joint Roughness Coefficient）量化裂隙表面粗糙度。巴顿基于大量实测试验给出了十条"标准粗糙度轮廓线"，如图6所示。每一条标准线对应一个JRC区间，例如JRC0--2、JRC2--4、...、JRC18--20：数值越大表示表面越粗糙[9]。
JRC值有多种计算方法，文献10提出使用经验公式 (2) 估算JRC：
其中， 的计算公式[9]如式（3）所示，式中L为钻孔周长。
式中，N 为轮廓线离散点总数， 和 是相邻离散点的水平坐标， 和 是相邻离散点的竖直坐标。
图6 巴顿标准轮廓线[9]
请利用附件3中的数据解决以下问题：
（1）建立数学模型，对附件3中的复杂裂隙数据进行表征。
（2）对每一条已识别的裂隙，提取其轮廓线离散坐标点并计算JRC值。
（3）讨论离散坐标点选取方法对JRC计算结果的影响。式（3）是基于等间距采样生成的离散点，通过参数N控制采样密度。针对裂隙轮廓线的特征，探讨是否存在更合适的离散点选取方式，分析不同采样方法的优缺点，并讨论裂隙面积对粗糙度评价的作用。
结果呈现要求：利用附件3中的数据集，生成表征与粗糙度分析结果，以表2形式在论文正文中呈现，并重点展现附件3中图3-1、图3-2和图3-3的分析过程与结果。
表2 复杂裂隙的定量分析建模结果汇总
| 图像编号 | 裂隙编号 | 振幅R (mm) | 周期P (mm) | 相位β (rad) | 中心线位置C (mm) | JRC值 |
|---|---|---|---|---|---|---|
求解结果
问题4：多钻孔裂隙网络的连通性分析与三维重构
裂隙在岩体内分布错综复杂，单一钻孔获得的信息有限，仅凭单一钻孔的信息难以完整反映岩体内复杂的裂隙结构。通过多个钻孔成像可以推断相邻钻孔中哪些裂隙可能连通或可能发展为连通。多钻孔裂隙连通性分析对于评估岩体稳定性、预测突水路径和瓦斯运移通道具有重要价值。
在这一分析中，裂隙的空间表征和JRC值可能发挥重要作用：提供裂隙的空间几何信息，有助于理解裂隙的整体三维结构；可能影响裂隙的扩展或连通行为，从而对岩体整体稳定性产生影响。如何从数学角度整合这些因素来评估和重构裂隙的空间分布，是一个值得探索的问题。
图7 多钻孔裂隙网络连通性分析示意图与工程对照
图7为巷道顶板钻孔布置示意图，采用2×3阵列布置方案，相邻钻孔间距为1000 mm。如图7(a) 所示，除4号钻孔的钻进深度为5000 mm外，其余5个钻孔的钻进深度均为7000 mm，各钻孔的空间位置参数如表3所示。
表3 钻孔空间位置参数表
| 钻孔编号 | 孔口坐标 | 孔底坐标 | 钻孔深度（mm） |
|---|---|---|---|
| 1# | (500, 2000, 0) | (500, 2000, 7000) | 7000 |
| 2# | (1500, 2000, 0) | (1500, 2000, 7000) | 7000 |
| 3# | (2500, 2000, 0) | (2500, 2000, 7000) | 7000 |
| 4# | (500, 1000, 0) | (500, 1000, 5000) | 5000 |
| 5# | (1500, 1000, 0) | (1500, 1000, 7000) | 7000 |
| 6# | (2500, 1000, 0) | (2500, 1000, 7000) | 7000 |
请利用附件4中的数据解决以下问题：
（1）建立数学模型，给出裂隙连通概率的定量评估方法；结合附件4中的数据集对钻孔成像展开图中相邻钻孔裂隙进行连通性分析，并以三维空间结构图的方式呈现分析结果。
（2）在实际工程中，有限的钻孔数量会导致连通性分析存在不确定性。请基于建立的模型，识别当前钻孔布局下的高不确定性区域，并考虑到工程实际的资源限制，按优先级排序给出3个最优的补充钻孔位置。
问题四求解结果
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