【C++】二叉搜索树

HY小海2025-09-28 20:15

1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树
  • 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N

最差情况下， 二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N

所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。 这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

3. 二叉搜索树的实现

二叉树的本质是通过链表实现，所以先实现一个树节点

cpp 复制代码 
template<class K>
struct BSTNode
{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;

	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{
	}
};

3.1插入

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
  2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位 置，插入新结点。
  3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插 入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右走，一会往左走）
cpp 复制代码 
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

cpp 复制代码 
bool Insert(const K& key)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
    //寻找合适位置
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
    //插入
	cur = new Node(key);
	if (parent->_key < key)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	return true;
}

3.2. 二叉搜索树的查找

从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。

最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

如果不支持插入相等的值，找到x即可返回

如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩子的那个3返回

cpp 复制代码 
void find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

3.3二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  • 要删除结点N左右孩子均为空
  • 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
  • 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
  • 要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案

  1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
  2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
  3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
  4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

cpp 复制代码 
bool Erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//准备删除
            // 0-1个孩⼦的情况 
            // 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可 
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				if (cur != _root)
				{
					//左为空，父亲指向我的右
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				else
				{
					_root = cur->_right;
				}
				delete cur;

			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (cur != _root)
				{
					//右为空，父亲指向我的左。
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				else
				{
					_root = cur->_left;
				}
				delete cur;
			}
			else
			{
				//左右都不为空，找子树中适合的节点替代我
                // 2个孩⼦的情况 
                // 删除情况4，替换法删除 
                // 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除 
                // 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况 
                // ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。 
				Node* minRightParent = cur;
				Node* minRight = cur->_right;
				while (minRight->_left)
				{
					minRightParent = minRight;
					minRight = minRight->_left;
				}
				swap(cur->_key, minRight->_key);
				if (minRight == minRightParent->_left)
					minRightParent->_left = minRight->_right;
				else
					minRightParent->_right = minRight->_right;
				delete minRight;
			}
			return false;
		}
	}
	return false;
}

3.4二叉搜索树的遍历

二叉搜索树的遍历采用的是中序遍历，利用递归很简单就可以实现。但在主函数调用时就会发现，根节点我们无法获取，所以这里再采用一种"套娃"的方式，

cpp 复制代码 
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

7. 二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了

场景：检查一篇英文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单 词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

7.3 key/value二叉搜索树代码实现

cpp 复制代码 
#pragma once
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
	// pair<K, V> _kv;
	K _key;
	V _value;
	BSTNode<K, V>* _left;
	BSTNode<K, V>* _right;
	BSTNode(const K& key, const V& value)
		:_key(key)
		, _value(value)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{
	}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
	BSTree() = default;
	BSTree(const BSTree<K, V>& t)
	{
		_root = Copy(t._root);
	}
	BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t)
	{
		swap(_root, t._root);
		return *this;
	}
	~BSTree()
	{
		Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}
	bool Insert(const K& key, const V& value)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key, value);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key, value);
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_right;
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				else
				{
					Node* rightMinP = cur;
					Node* rightMin = cur->_right;
					while (rightMin->_left)
					{
						rightMinP = rightMin;
						rightMin = rightMin->_left;
					}
					cur->_key = rightMin->_key;
					if (rightMinP->_left == rightMin)
						rightMinP->_left = rightMin->_right;
					else
						rightMinP->_right = rightMin->_right;
					delete rightMin;
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);
		delete root;
	}
	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return nullptr;
		Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
		newRoot->_left = Copy(root->_left);
		newRoot->_right = Copy(root->_right);
		return newRoot;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};
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