【C++】AVL详解

勇闯逆流河2025-09-29 14:36

本文是小编巩固自身而作，如有错误，欢迎指出！

目录

一、AVL的概念

二、AVL树的基本结构

三、AVL的插入

（1）AVL树的插入过程

（2）平衡因子的更新

（3）AVL树的旋转

3.1左/右单旋

3.2左右双旋

四、AVL树的查找

五、AVL树的平衡检测

六、完整代码及测试

一、AVL的概念

• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的 左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。

• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何 结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。

不了解二叉搜索树树的可以看看前文

【C++】二叉搜索树https://blog.csdn.net/2401_85487070/article/details/151681422?fromshare=blogdetail&sharetype=blogdetail&sharerId=151681422&sharerefer=PC&sharesource=2401_85487070&sharefrom=from_link

二、AVL树的基本结构

AVL树的基本结构和普通的二叉搜索树差别不大，就是多了一个参数平衡因子--bf,大体结构如下列代码所示。

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
 // 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 
 pair<K, V> _kv;
 AVLTreeNode<K, V>* _left;
 AVLTreeNode<K, V>* _right;
 AVLTreeNode<K, V>* _parent;
 int _bf; // balance factor
 AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
 :_kv(kv)
 , _left(nullptr)
 , _right(nullptr)
 , _parent(nullptr)
 ,_bf(0)
 {}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
 typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:

}

三、AVL的插入

向AVL树中插入节点与向二叉搜索树中插入节点的过程基本相同，唯一的区别就是AVL树在插入节点后可能存在失衡的情况，需要调整。

（1）AVL树的插入过程

  1. 插入⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。

  2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了

  3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束

  4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树

的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

（2）平衡因子的更新

更新原则：

• 平衡因⼦=右⼦树⾼度-左⼦树⾼度

• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。

• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦--

• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会 影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

• 更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所 在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向 上更新。

• 更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼ 了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：**1、把 parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。**所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。

• 不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

而上述过程我们将其分成两部分，走到最下端和插入更新（部分需旋转）

下面是走到最下端的代码

cpp 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);

			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)//走到最下端
		{
			if (cur->_kv.first<kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

然后我们插入新节点更新平衡因子

cpp 复制代码 
cur = new Node(kv);
		cur->_bf = 0;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;//更改新插入节点的parent

		 while (parent)
		 {
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 旋转处理
            }

然后当parent节点的平衡因子达到2时我们开始进行旋转操作

（3）AVL树的旋转

所谓AVL树的旋转，其目的就是在插入新节点后使树从新变得平衡 。

而AVL树的旋转分为四种左/右单旋,左/右双旋

3.1左/右单旋

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平 衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

其中旋转的步骤主要就是在于将subL旋转成新的parent节点然后将subLR变成原来parent节点的左子树（左边高插入的情况）

cpp 复制代码 
void RotateR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;
           
			parent->_left = subLR;
			if (subLR)
			{
				subLR->_parent = parent;
	        }
			Node* parentParent = parent->_parent;
			subL->_right = parent;
			parent->_parent = subL;
			if (parent == _root)
			{
				_root = subL;
				subL->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (parentParent->_left == parent)
				{
					parentParent->_left = subL;
				}
				else
				{
					parentParent->_right = subL;
				}
				subL->_parent = parentParent;
			}
			parent->_bf = subL->_bf = 0;
		}

其中我们主要注意的就是就是旋转后要将parent和subL的平衡度归零

左单旋也是同理，只是左右顺序相反

cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;
			parent->_right = subRL;
			if (subRL)
			{
				subRL->_parent = parent;
			}	
			Node* parentParent = parent->_parent;
			subR->_left = parent;
			parent->_parent = subR;
			if (parent == _root)
			{
				_root = subR;
				subR->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (parentParent->_left == parent)
				{
					parentParent->_left = subR;
				}
				else
				{
					parentParent->_right = subR;
				}

				subR->_parent = parentParent;
			}

			subR->_bf = parent->_bf = 0;
		
		}

3.2左右双旋

我们先看看下列样图

左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题我们可以看到如果向之前一样将subLR转接到原来parent的左边，并不能解决问题，因此我们需要使用双旋，也就是将subL为节点进行一个左旋，然后将整体进行右旋。

下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为 我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置 不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论：

场景1：

h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦， 引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5 平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1

场景2：

h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引

发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1

场景3：

h==0a时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋 转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0

cpp 复制代码 
void RotateLR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			if (subL == nullptr)
				return;
		
			Node* subLR = subL->_right;
			if (subLR == nullptr)
				return;

			int bf = subLR->_bf;//根据subLR的值判断插入位置
			RotateL(subL);
			RotateR(parent);
			if (bf == 0)
			{
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 1)
			{
				subL->_bf = -1;
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf= 0;
			}
			else if(bf==-1)
			{
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 1;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

而左双旋和其原理一致，不多赘述。

四、AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

cpp 复制代码 
Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
				{
				if (cur->_kv.first < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_kv.first > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}

五、AVL树的平衡检测

要想进行AVL树的平衡检测，直接通过平衡因子进行确定肯定是行不通的，因为我们程序的运行就基于平衡因子的正确，用平衡因子检测就是自欺欺人，因此我们这里使用检测左右子树的高度差来确定是否平衡。

cpp 复制代码 
int _Height(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
					return 0;
				int leftHeight = _Height(root->_left);
				int rightHeight = _Height(root->_right);
				return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
			}

其思路就是一个简单的递归函数最后会返回高度差。

cpp 复制代码 
bool _IsBalanceTree(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
					return true;

				int leftHeight = _Height(root->_left);
				int rightHeight = _Height(root->_right);
				int bf = rightHeight - leftHeight;
				if (abs(bf) >= 2 || bf != root->_bf)
				{
					cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
					return false;
				}

				return _IsBalanceTree(root->_left)
					&& _IsBalanceTree(root->_right);

			}

六、完整代码及测试

.h文件

cpp 复制代码 
#pragma once
#include<assert.h>
#include<iostream>
#include<utility>
#include<cstdlib>
using namespace std;

template<class K,class V>
struct AVLtreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLtreeNode<K, V>* _left;
	AVLtreeNode<K, V>* _right;
	AVLtreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//balance factor;
	AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{

	}
};

template<class K,class V>
class AVLtree
{
	typedef AVLtreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);

			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)//走到最下端
		{
			if (cur->_kv.first<kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}


		cur = new Node(kv);
		cur->_bf = 0;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;//更改新插入节点的parent

		 while (parent)
		 {
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 旋转处理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				
				

				break;
			}
			
			else//超过2
			{
				assert(false);
			}
		 }

		return true;
	}
	
		void RotateR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;
           
			parent->_left = subLR;
			if (subLR)
			{
				subLR->_parent = parent;
	        }
			Node* parentParent = parent->_parent;
			subL->_right = parent;
			parent->_parent = subL;
			if (parent == _root)
			{
				_root = subL;
				subL->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (parentParent->_left == parent)
				{
					parentParent->_left = subL;
				}
				else
				{
					parentParent->_right = subL;
				}
				subL->_parent = parentParent;
			}
			parent->_bf = subL->_bf = 0;
		}
		void RotateL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;
			parent->_right = subRL;
			if (subRL)
			{
				subRL->_parent = parent;
			}	
			Node* parentParent = parent->_parent;
			subR->_left = parent;
			parent->_parent = subR;
			if (parent == _root)
			{
				_root = subR;
				subR->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (parentParent->_left == parent)
				{
					parentParent->_left = subR;
				}
				else
				{
					parentParent->_right = subR;
				}

				subR->_parent = parentParent;
			}

			subR->_bf = parent->_bf = 0;
		
		}
		void RotateLR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			if (subL == nullptr)
				return;
		
			Node* subLR = subL->_right;
			if (subLR == nullptr)
				return;

			int bf = subLR->_bf;//根据subLR的值判断插入位置
			RotateL(subL);
			RotateR(parent);
			if (bf == 0)
			{
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 1)
			{
				subL->_bf = -1;
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf= 0;
			}
			else if(bf==-1)
			{
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 1;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

		}
		void RotateRL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			if (subR == nullptr)
				return;
	
			Node* subRL = subR->_left;
			if (subRL == nullptr)
				return;



			int bf = subRL->_bf;
			RotateR(parent->_right);
			RotateL(parent);
			if (bf == 0)
			{
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 1)
			{
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
				parent->_bf = -1;
			}
			else if (bf == -1)
			{
				subR->_bf = 1;
				subRL->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
		     cout << endl;
		}
		bool IsBalanceTree()
		{
			return _IsBalanceTree(_root);
		}
		int Size()
		{
			return _Size(_root);
		}
		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
				{
				if (cur->_kv.first < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_kv.first > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}


		private:
			void _InOrder(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
					return;

				_InOrder(root->_left);
				cout << root->_kv.first << " ";
				//cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
				_InOrder(root->_right);
			}
			bool _IsBalanceTree(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
					return true;

				int leftHeight = _Height(root->_left);
				int rightHeight = _Height(root->_right);
				int bf = rightHeight - leftHeight;
				if (abs(bf) >= 2 || bf != root->_bf)
				{
					cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
					return false;
				}

				return _IsBalanceTree(root->_left)
					&& _IsBalanceTree(root->_right);

			}
			int _Height(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
					return 0;
				int leftHeight = _Height(root->_left);
				int rightHeight = _Height(root->_right);
				return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
			}
			int _Size(Node* root)
			{
				return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
			}

			Node* _root = nullptr;
	};

.cpp文件

cpp 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include"AVLtree.h"
#include<iostream>
using namespace std;
void test01()
{
	AVLtree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		if (e == 14)
		{
			int x = 0;
		}

		t.Insert({ e, e });
		t.InOrder();
		cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;
	}
	//t.InOrder();
	//cout << t._IsBalanceTree() << endl;
}
void test02()
{
	AVLtree<int, int> t;
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	for (auto e : a)
	{
		if (e == 14)
		{
			int x = 0;
		}

		t.Insert({ e, e });
		t.InOrder();
		cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;
	}
	auto f1 = t.Find(7);
	cout << f1->_kv.first << endl;
}
int main()
{
	//AVLtree<int, int> t;
	//t.Insert({ 1,2 });
	//t.Insert({ 2,3 });  
	//test01();
	test02();
	return 0;
}

测试结果

今天的分享就到这里了，后续会继续更新，感谢阅读！

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