一、基本知识
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传递函数：
- 零初始条件下，线性系统响应量的拉普拉斯变换与激励量的拉普拉斯变换之比，即输出拉普拉斯与输入拉普拉斯之比；
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根轨迹：
- 分析对象是开环传递函数；
- 画出是闭环传递函数的根的轨迹；
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Bode图：
- 是开环传递函数的幅频和相频特性；
- 开环Bode，分析稳定性、设计补偿器（增益裕度、相位裕度、带宽）；
- 闭环Bode，验证整体性能；
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理想系统传递函数：
- 较大的直流增益；
- 相位裕度在45°~75°（太大动态响应慢）；
- 高频处有较大衰减（抑制噪声）；
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评估动态性能 - 环路带宽
- 定义：增益曲线穿过0dB点的频率；
- 带宽高：响应快，调节性能好，输出电压偏差小；
- 带宽低：响应慢，负载突变时，电压跌落或过冲很大；
- （但带宽太高，系统对开关噪声更敏感）
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对于线性时不变系统（LTI，Linear Time Invariant），系统传递函数 G ( s ) G(s) G(s):
- 输入： M i sin ( w t + ϕ i ) M_{i}\sin(wt+\phi_{i}) Misin(wt+ϕi)
- 输出： M o sin ( w t + ϕ o ) M_{o}\sin(wt+\phi_{o}) Mosin(wt+ϕo)
- 频率响应： M = M o M i = ∣ G ( j w ) ∣ M=\frac{M_{o}}{M_{i}}=|G(jw)| M=MiMo=∣G(jw)∣
- 幅角响应： ϕ = ϕ o − ϕ i = ∠ G ( j w ) \phi=\phi_{o}-\phi_{i}=∠G(jw) ϕ=ϕo−ϕi=∠G(jw)
二、相位裕度PM、增益裕度GM
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开环传函： T ( s ) = G ( S ) ∗ H ( s ) T(s)=G(S)*H(s) T(s)=G(S)∗H(s)
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闭环传函：
U o ( s ) U i ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) ∗ H ( s ) = G ( s ) 1 + T ( s ) \frac{U_{o}(s)}{U_{i}(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)*H(s)}=\frac{G(s)}{1+T(s)} Ui(s)Uo(s)=1+G(s)∗H(s)G(s)=1+T(s)G(s) -
电压波动表达式：
Δ U o ( s ) = G ( s ) 1 + T ( s ) ∗ Δ U i ( s ) \Delta U_{o}(s)=\frac{G(s)}{1+T(s)}*\Delta U_{i}(s) ΔUo(s)=1+T(s)G(s)∗ΔUi(s) -
所以，闭环系统不稳定条件：当 1 + T ( s ) = 0 1+T(s)=0 1+T(s)=0时，系统的干扰波动无限大；
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此情况的条件有两个方面：
- 开环传函幅值： ∣ T ( s ) ∣ = 1 = 0 d B |T(s)|=1=0dB ∣T(s)∣=1=0dB；
- 开环传函相位： ∠ T ( s ) = − 180 ° ∠T(s)=-180° ∠T(s)=−180°；
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穿越频率：也叫截止频率、剪切频率：
- 开环Bode中，是增益曲线与0dB线的交叉点，称为开环截止频率，记作 w c w_{c} wc；
- 闭环Bode中，是增益曲线与-3dB线的交叉点，称为闭环截止频率，也称为带宽频率，记作 w b w_{b} wb，频率范围 ( 0 , w b ) (0,w_{b}) (0,wb)，称为系统的带宽；
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相位裕度（Phase Margin, PM）
- 当 ∣ T ( s ) ∣ = 1 |T(s)|=1 ∣T(s)∣=1， ∠ T ( s ) ∠T(s) ∠T(s)不能为 − 180 ° -180° −180°；
- 此时，和 − 180 ° -180° −180°的距离为裕度；
- 通常，保持 45 ° < P M < 75 ° 45°<PM<75° 45°<PM<75°;
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增益裕度（Gain Margin, GM）
- 当 ∠ T ( s ) = − 180 ° ∠T(s)=-180° ∠T(s)=−180°， ∣ T ( s ) ∣ |T(s)| ∣T(s)∣不能为 1 1 1；
- 此时，和1的距离为裕度；
- 通常，保持 G M > 6 d B GM>6dB GM>6dB;
三、极点Pole、零点Zero
- 极点、零点：
- 极点：使得传递函数的分母为0；（极点会使得传递函数数学计算结果变"极"大）
- 零点：使得传递函数的分子为0；（零点会使得传递函数数学计算结果变"零"）
- 传递函数 H ( s ) = ( s + a ) / ( s + b ) H(s)=(s+a)/(s+b) H(s)=(s+a)/(s+b)，其中 − b -b −b就是极点， − a -a −a就是零点；
- 极点和零点指的都是某个频率点，极点频率 f p f_{p} fp、零点频率 f z f_{z} fz；
- Bode图中，在极点位置上：
- 增益：计算为直流增益减去3dB；
- 相位：系统的相移已经有45°；
- （一个极点会给系统带来90°的相移，相位在极点频率两边以 − 45 ° / -45°/ −45°/十倍频的斜率变化为0°和 − 90 ° -90° −90°）
- Bode图中，在零点位置上：
- 增益：计算为直流增益加上3dB；
- 相位：系统的相移已经有45°；
- （一个零点点会给系统带来90°的相移，相位在极点频率两边以 + 45 ° / +45°/ +45°/十倍频的斜率变化为0°和 + 90 ° +90° +90°）
- Bode图中，极点之后：
- 增益：随着频率增大，幅值进一步衰减，增益按照（ − 20 d B / -20dB/ −20dB/十倍频）衰减;
- 相位：随着频率增大，相位进一步滞后，按照（ − 45 ° / -45°/ −45°/十倍频）衰减；
- Bode图中，零点之后：
- 增益：随着频率增大，幅值进一步增大，增益按照（ + 20 d B / +20dB/ +20dB/十倍频）增大;
- 相位：随着频率增大，相位进一步超前，相位按照（ + 45 ° / +45°/ +45°/十倍频）增大；
- 如果系统中有两个极点，随着频率增大，增益衰减、相位滞后至 − 180 ° -180° −180°，可能导致系统振荡；
- 所以通常并不希望存在极点，但由于元器件的寄生参数，极点是天然存在的；为避免系统输出振荡，一般人为增加零点，这就是频率补偿；
- 零点Zero的作用：抵消极点Pole的作用，矫正输出信号衰减的趋势、矫正相位滞后的趋势；
- 如下图：零点的作用就体现在1kHz频率的位置，零点抵消了前一个极点（100Hz）引起的增益衰减作用；
学习来源：知乎
学习来源：B站_DRCAN
学习来源：Hailandao