🔍 题目描述
已知实数 aaa，bbb，ccc，ddd 满足 ab+bc+cd+da=1ab + bc + cd + da = 1ab+bc+cd+da=1，求 a2+2b2+3c2+4d2a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4d^2a2+2b2+3c2+4d2 的最小值 ．
（2021年清华大学强基计划试题）
💡 解法一：柯西不等式 + 均值不等式
步骤 1：重组条件
由 ab+bc+cd+da=1ab + bc + cd + da = 1ab+bc+cd+da=1，因式分解得：
(a+c)(b+d)=1(关键代数变形！)(a + c)(b + d) = 1 \quad \textcolor{blue}{\text{(关键代数变形！)}}(a+c)(b+d)=1(关键代数变形！)
步骤 2：对 (a2+3c2)(a^2 + 3c^2)(a2+3c2) 和 (2b2+4d2)(2b^2 + 4d^2)(2b2+4d2) 分别用柯西不等式
-
第一组 ： (a2+3c2)(1+13)≥(a+c)2(a^2 + 3c^2)(1 + \dfrac{1}{3}) \geq (a + c)^2(a2+3c2)(1+31)≥(a+c)2
即a2+3c2≥34(a+c)2①a^2 + 3c^2 \geq \dfrac{3}{4}(a + c)^2 \quad \textcolor{red}{\text{①}}a2+3c2≥43(a+c)2①
⚠️ 等号成立条件 ：a:c=3:1a : c = 3 : 1a:c=3:1．
-
第二组 ： (2b2+4d2)(12+14)≥(b+d)2(2b^2 + 4d^2)(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}) \geq (b + d)^2(2b2+4d2)(21+41)≥(b+d)2
即2b2+4d2≥43(b+d)2②2b^2 + 4d^2 \geq \dfrac{4}{3}(b + d)^2 \quad \textcolor{red}{\text{②}}2b2+4d2≥34(b+d)2②
⚠️ 等号成立条件 ： b:d=2:1b : d = 2 : 1b:d=2:1．
步骤 3：结合 ①\textcolor{red}{\text{①}}①**、** ②\textcolor{red}{\text{②}}② 与条件
将 ①\textcolor{red}{\text{①}}①②\textcolor{red}{\text{②}}② 相加，并利用 (a+c)(b+d)=1(a + c)(b + d) = 1(a+c)(b+d)=1：
a2+2b2+3c2+4d2≥34(a+c)2+43(b+d)2≥234(a+c)2⋅43(b+d)2(均值不等式)=2⋅∣(a+c)(b+d)∣=2×1=2．\begin{align*} & a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4d^2 \\ \geq & \dfrac{3}{4}(a + c)^2 + \dfrac{4}{3}(b + d)^2 \\ \geq & 2 \sqrt{ \dfrac{3}{4}(a + c)^2 \cdot \dfrac{4}{3}(b + d)^2 } \quad \text{(均值不等式)} \\ = & 2 \cdot |(a + c)(b + d)| \\ = & 2 \times 1 = 2． \end{align*}≥≥==a2+2b2+3c2+4d243(a+c)2+34(b+d)2243(a+c)2⋅34(b+d)2 (均值不等式)2⋅∣(a+c)(b+d)∣2×1=2．
💡 连续两次放缩：第一次柯西，第二次均值，最终锁定最小值 2．
步骤 4：验证等号条件
联立比例关系与约束条件：
a:c=3:1,b:d=2:1,(a+c):(b+d)=4:3,(a+c)(b+d)=1.\begin{align*} a : c &= 3 : 1,\\ b : d &= 2 : 1, \\ (a+c) : (b+d) &= 4:3,\\ (a + c)(b + d) &= 1. \end{align*}a:cb:d(a+c):(b+d)(a+c)(b+d)=3:1,=2:1,=4:3,=1.
即a:b:c:d=3:2:1:1a:b:c:d=3:2:1:1a:b:c:d=3:2:1:1，
解得 a=32,b=33,c=d=36a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, b = \dfrac{\sqrt{3}}{3}, c = d = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a=23 ,b=33 ,c=d=63
（或全取负数）
代入目标式验算：
a2+2b2+3c2+4d2=34+2⋅13+3⋅112+4⋅112=34+23+14+13=2\begin{align*} & a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4d^2 \\ = & \dfrac{3}{4} + 2 \cdot \dfrac{1}{3} + 3 \cdot \dfrac{1}{12} + 4 \cdot \dfrac{1}{12} \\ = & \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \\ = & 2 \end{align*}===a2+2b2+3c2+4d243+2⋅31+3⋅121+4⋅12143+32+41+312
✅ 最小值确为 2．
💡 解法二：均值不等式链（系数调配）
目标式拆解 ：
a2+2b2+3c2+4d2=(23a2+32b2)+(12b2+2c2)+(c2+d2)+(3d2+13a2)\begin{align*} & a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4d^2\\ =& ( \dfrac{2}{3}a^2 + \dfrac{3}{2}b^2 ) + ( \dfrac{1}{2}b^2 + 2c^2 )\\ &+ ( c^2 + d^2 ) + ( 3d^2 + \dfrac{1}{3}a^2 ) \end{align*}=a2+2b2+3c2+4d2(32a2+23b2)+(21b2+2c2)+(c2+d2)+(3d2+31a2)
对每组括号用均值不等式 ：
23a2+32b2≥223a2⋅32b2=2∣ab∣,12b2+2c2≥212b2⋅2c2=2∣bc∣,c2+d2≥2c2⋅d2=2∣cd∣,3d2+13a2≥23d2⋅13a2=2∣da∣.\begin{align*} \dfrac{2}{3}a^2 + \dfrac{3}{2}b^2 & \geq 2 \sqrt{ \dfrac{2}{3}a^2 \cdot \dfrac{3}{2}b^2 } & =2|ab|, \\ \dfrac{1}{2}b^2 + 2c^2 & \geq 2 \sqrt{ \dfrac{1}{2}b^2 \cdot 2c^2 } & =2|bc|, \\ c^2 + d^2 & \geq 2 \sqrt{ c^2 \cdot d^2 } & =2|cd|, \\ 3d^2 + \dfrac{1}{3}a^2 & \geq 2 \sqrt{ 3d^2 \cdot \dfrac{1}{3}a^2 } & = 2|da|. \end{align*}32a2+23b221b2+2c2c2+d23d2+31a2≥232a2⋅23b2 ≥221b2⋅2c2 ≥2c2⋅d2 ≥23d2⋅31a2 =2∣ab∣,=2∣bc∣,=2∣cd∣,=2∣da∣.
四式相加 ：
a2+2b2+3c2+4d2≥2(∣ab∣+∣bc∣+∣cd∣+∣da∣)≥2(ab+bc+cd+da)=2×1=2\begin{align*} & a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4d^2 \\ \geq & 2(|ab| + |bc| + |cd| + |da|) \\ \geq & 2(ab + bc + cd + da) \\ = &2 \times 1 = 2 \end{align*}≥≥=a2+2b2+3c2+4d22(∣ab∣+∣bc∣+∣cd∣+∣da∣)2(ab+bc+cd+da)2×1=2
💡 拆分的系数恰好使交叉项匹配 ab,bc,cd,daab, bc, cd, daab,bc,cd,da．
⚠️ 等号成立条件 ：a:b:c:d=3:2:1:1a:b:c:d = 3:2:1:1a:b:c:d=3:2:1:1，与前法一致．