离散积分是为了解决数列an = f(n),f(n)表达式一致的情况下an的和,我称作离散积分
找一个每一个长度为固定常数a区间和f(n)一样大小的连续函数p(x),p(x)满足下面条件
离散积分法一,可行性要证明,复杂度是f(n)的级数,要找a的序列规律,目前n的^k次方可以找到a的序列规律
∫p(x)dx=[G(ax+c)-G(ax-a+c)]
a,c为常数,a为正整数,0<c<1
以设置a为常数1如果可以转化为连续积分,就已解决问题
如果不能转化为连续积分,a取大于1的整数,为什么么取大于1的整数,因为是一个映射关系,将x映射到ax+c上,但是a不等于1时,映射的积分不能求和
所以设数列an通过积分得到f(n)=[G(ax+c))-G(ax-1+c)],0<c<1,
要求
这里只得到一个级数,无法求出来,但这个级数又是a倍长度的一个单位区间,因为这所有的区间连起来的和是已知的,所以可以看其他的区间与这个区间的联系,如果知道联系式,就可以求出这个单位区间的值
其他的单位区间值
G(ax+c)-G(ax-1+c)
G(ax-1+c)-G(ax-2+c)
G(ax-a+1+c)-G(ax-a+c)
如果能知道这个数列的关系式,就可以根据
\[G(ax+c)-G(ax-1+c))推出
G(ax-1+c)-G(ax-2+c)
G(ax-2+c)-G(ax-3+c)
G(ax-a+1+c)-G(ax-a+c)
.....
数列b1(x)为G(ax+c)-G(ax-1+c), G(a(x-1)+c))-G(a(x-2)+ c) .....
数列b2(x)为G(ax-1+c)-G(ax-1+c), G(a(x-1)-1+c))-G(a(x-2)-1 + c) .....
数列ba(x)为G(ax-a+1+c)-G(a(x-1)+1+c), G(a(x-1)+1+c))-G(a(x-2)+1 + c) .....
将∫p(x)dx=数列b1(x),b2(x)....ba(x)的总和
f(n)= 数列b1(x)的和,
所以我们要知道数列b2(x),b3(x),ba(x)的总和,就能求出f(n)的和
怎么求数列b2(x),b3(x),ba(x)的总和
当数列b2(x),b3(x),ba(x)的总和可以表示成kb1(x)和序列f2(n)的和,令f(n)=f2(n)重复上述方法,循环可以一直知道求出ft(n)的和可求出,反推出f1(n)次方
云强猜想,对于哪些满足条件的函数,离散积分是可行的,a的序列选择有什么规律,迭代次数和函数有什么关系
高级猜想,有没有离散积分的公式,比如n\^k之和有公式,就是原函数,根据n的次方求和公式的次方之和,n的k次方选择当前序列a的应该是k,其他初等函数有公式吗,当前序列a的选择是怎样的,离散积分初等函数的乘法的公式,除法的公式等等是怎么推导
这个是求和公式,是上一篇孪生素数提到的,利用柯西中值定理累加可以求一个大概范围
不过F(n-1)-F(0)\<
∫f(n)dn
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