UVa 1620 Lazy Susan

题目描述

有 NNN 个弹珠，标号为 1,2,...,N1, 2, \ldots, N1,2,...,N，它们被按任意顺序放置在一个环形轨道上。轨道顶部有一个"懒人转盘"（Lazy Susan\texttt{Lazy Susan}Lazy Susan），这是一个可以容纳恰好 444 个弹珠的托盘。托盘可以旋转 180∘180^\circ180∘ 来反转 444 个弹珠的顺序，也可以沿着轨道在两个方向上移动。

目标是通过移动和旋转托盘，使得从某个位置开始沿顺时针方向列出弹珠时，得到顺序 (1,2,...,N)(1, 2, \ldots, N)(1,2,...,N)。

输入格式

输入文件包含多个测试数据。第一行是一个不超过 100100100 的正整数，表示测试数据组数。接下来描述各组数据：

每组数据第一行是整数 NNN (8≤N≤5008 \leq N \leq 5008≤N≤500)
第二行包含 NNN 个整数，表示按顺时针顺序列出的弹珠标签

输出格式

对于每组测试数据，输出一行：如果存在解决方案则输出 possible，否则输出 impossible。

题目分析

关键操作分析

托盘旋转操作 ：反转连续 444 个弹珠的顺序
托盘移动操作：将托盘沿着轨道移动到相邻位置

这两种操作结合起来，实际上可以在环形轨道上反转任意连续 444 个弹珠的顺序。

数学建模

这是一个排列群问题，我们需要分析这些操作对排列奇偶性的影响：

反转 444 个元素 相当于执行 333 次相邻交换
- 333 是奇数，所以每次反转操作都会改变排列的奇偶性
环形旋转 相当于执行 N−1N-1N−1 次相邻交换
- 当 NNN 为偶数时，N−1N-1N−1 为奇数，旋转改变奇偶性
- 当 NNN 为奇数时，N−1N-1N−1 为偶数，旋转不改变奇偶性

可达性分析

基于以上分析，我们可以得出以下结论：

当 NNN 为偶数时 ：

旋转操作可以改变奇偶性，反转操作也可以改变奇偶性，因此总是能够通过合适的操作序列达到目标状态。
当 NNN 为奇数时 ：

旋转操作不能改变奇偶性，只能依靠反转操作来改变奇偶性。由于反转操作总是改变奇偶性，我们需要初始排列的奇偶性与目标状态一致。目标状态 (1,2,...,N)(1, 2, \ldots, N)(1,2,...,N) 是偶排列（逆序数为 000），因此需要初始排列也是偶排列。

最终结论

综合以上分析，我们得到简洁的判定条件：

possible ⟺ (N mod 2=0)∨(inversionCount mod 2=0) \texttt{possible} \iff (N \bmod 2 = 0) \vee (\texttt{inversionCount} \bmod 2 = 0) possible⟺(Nmod2=0)∨(inversionCountmod2=0)

其中 inversionCount\texttt{inversionCount}inversionCount 是初始排列的逆序数。

算法实现

时间复杂度

计算逆序数需要 O(N2)O(N^2)O(N2) 时间，对于 N≤500N \leq 500N≤500 完全可行。

代码实现

cpp 复制代码

// Lazy Susan
// UVa ID: 1620
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-28
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int marbleCount; cin >> marbleCount;
        vector<int> marbleSequence(marbleCount);
        // 读取弹珠序列
        for (int i = 0; i < marbleCount; ++i) cin >> marbleSequence[i];
        // 计算逆序数
        int inversionCount = 0;
        for (int i = 0; i < marbleCount; ++i)
            for (int j = i + 1; j < marbleCount; ++j)
                if (marbleSequence[i] > marbleSequence[j])
                    inversionCount++;
        // 应用判定条件：N 为偶数或逆序数为偶数
        if (marbleCount % 2 == 0 || inversionCount % 2 == 0) cout << "possible\n";
        else cout << "impossible\n";
    }
    return 0;
}

总结

本题的关键在于理解操作对排列奇偶性的影响，通过数学分析得出简洁的判定条件。算法只需要计算一次逆序数，然后根据 NNN 的奇偶性进行判断，实现简单且高效。