计算复杂二项分布的定理——De Moivre-Laplace Theorem

蒂莫夫-拉普拉斯定理 （De Moivre-Laplace Theorem）是概率论中一个重要的定理，它是中心极限定理的特殊情况 ，专门针对二项分布。

定理内容

设(Xn)服从参数为(n,p)的二项分布，即(Xn∼B(n,p))。当(n→∞)时，标准化后的随机变量：[fracXn−npnp(1−p)]设 ( X_n ) 服从参数为 (n, p) 的二项分布，即 ( X_n \sim B(n, p) )。当 ( n \to \infty ) 时，标准化后的随机变量： [ frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} ]设(Xn)服从参数为(n,p)的二项分布，即(Xn∼B(n,p))。当(n→∞)时，标准化后的随机变量：[fracXn−npnp(1−p) ]
依分布收敛 到标准正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1)。

数学表达

lim⁡n→∞P(Xn−npnp(1−p)≤x)=Φ(x)=12π∫−∞xe−t2/2dt\]\[ \\lim_{n \\to \\infty} P\\left( \\frac{X_n - np}{\\sqrt{np(1-p)}} \\leq x \\right) = \\Phi(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\int_{-\\infty}\^x e\^{-t\^2/2} dt \]\[limn→∞P(np(1−p) Xn−np≤x)=Φ(x)=2π 1∫−∞xe−t2/2dt

直观理解

这个定理告诉我们：

即使原始分布是离散的二项分布
当试验次数 ( n ) 很大时
标准化后的二项分布可以用连续的正态分布来近似

应用条件

通常认为近似效果较好的条件是：

np≥5且n(1−p)≥5\]\[ np \\geq 5 \\quad \\text{且} \\quad n(1-p) \\geq 5 \]\[np≥5且n(1−p)≥5

实际应用例子

问题：抛一枚均匀硬币1000次，求正面出现次数在480到520之间的概率。

解：

(n=1000,p=0.5)( n = 1000, p = 0.5 )(n=1000,p=0.5)
(μ=np=500,σ=np(1−p)=250≈15.81)( \mu = np = 500, \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{250} \approx 15.81 )(μ=np=500,σ=np(1−p) =250 ≈15.81)

使用蒂莫夫-拉普拉斯定理：

P(480≤X≤520)=P(480−50015.81≤X−50015.81≤520−50015.81)P(480 \leq X \leq 520) = P\left( \frac{480-500}{15.81} \leq \frac{X-500}{15.81} \leq \frac{520-500}{15.81} \right)P(480≤X≤520)=P(15.81480−500≤15.81X−500≤15.81520−500)

=P(−1.26≤Z≤1.26)=Φ(1.26)−Φ(−1.26)≈0.792= P(-1.26 \leq Z \leq 1.26) = \Phi(1.26) - \Phi(-1.26) \approx 0.792=P(−1.26≤Z≤1.26)=Φ(1.26)−Φ(−1.26)≈0.792

与中心极限定理的关系

蒂莫夫-拉普拉斯定理是中心极限定理在二项分布情况下的特例，因为：

二项分布可以看作是 ( n ) 个独立伯努利试验的和
每个伯努利试验的均值是 ( p )，方差是 ( p(1-p) )
根据中心极限定理，独立同分布随机变量和的标准化形式趋近于正态分布

历史意义

这个定理在历史上很重要，因为：

它是早期发现的正态逼近结果
为后来更一般的中心极限定理奠定了基础
在实际统计推断中有广泛应用

记忆要点

适用对象：二项分布 ( B(n, p) )
核心结论：标准化后近似服从 ( N(0,1) )
标准化方法 ：(X−npnp(1−p))( \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} )(np(1−p) X−np)
应用条件：( n ) 足够大，( np ) 和 ( n(1-p) ) 都不太小

这个定理使得我们可以用熟悉的正态分布来计算复杂的二项概率，大大简化了实际计算工作。