【数学】概率论与数理统计（五）

丷从心2025-01-14 16:46

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二维随机向量及其分布

随机向量

  • 一般地，称 n n n个随机变量的整体 X = ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) X = (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) X=(X1,X2,⋯,Xn)为 n n n维随机向量

离散型随机向量的概率分布律

  • 设二维离散型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的所有可能取值的集合为 G = {   ( x i , y j ) , i , j = 1 , 2 , ⋯   } G = \set{(x_{i}, y_{j}) , i, j = 1, 2, \cdots} G={(xi,yj),i,j=1,2,⋯}，并记 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)取各个可能取值的概率为 p i j = P {   X = x i , Y = y j   } , i , j = 1 , 2 , ⋯ p_{ij} = P\set{X = x_{i} , Y = y_{j}} , i, j = 1, 2, \cdots pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,⋯，称为二维离散型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率分布律，或称为 X X X， Y Y Y的联合分布律

性质

  • p i j ≥ 0 ( i , j = 1 , 2 , ⋯   ) p_{ij} \geq 0 (i, j = 1, 2, \cdots) pij≥0(i,j=1,2,⋯)

  • ∑ i ∑ j p i j = 1 \sum\limits_{i}\sum\limits_{j}{p_{ij}} = 1 i∑j∑pij=1

  • 满足上述 2 2 2个性质的数集 {   p i j , i , j = 1 , 2 , ⋯   } \set{p_{ij} , i, j = 1, 2, \cdots} {pij,i,j=1,2,⋯}必可构成某二维离散型随机向量的一个分布律

示例

问题
  • 某盒内放有 12 12 12个大小相同的球，其中 5 5 5个红球， 4 4 4个白球， 3 3 3个黑球，第一次随机地摸出 2 2 2个球，观察后不放回，第二次再取出 3 3 3个球，以 X i X_{i} Xi表示第 i i i次取到红球的数目， i = 1 , 2 i = 1, 2 i=1,2，求 ( X 1 , X 2 ) (X_{1}, X_{2}) (X1,X2)的分布律
解答
  • P {   X 1 = i , X 2 = j   } = P {   X 1 = i   } P {   X 2 = j ∣ X 1 = i   } = C 5 i C 7 2 − i C 12 2 × C 5 − i j C 5 + i 3 − j C 10 3 ( i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , 3 ) P\set{X_{1} = i , X_{2} = j} = P\set{X_{1} = i} P\set{X_{2} = j | X_{1} = i} = \frac{C_{5}^{i} C_{7}^{2 - i}}{C_{12}^{2}} \times \frac{C_{5 - i}^{j} C_{5 + i}^{3 - j}}{C_{10}^{3}} (i = 0, 1, 2 , j = 0, 1, 2, 3) P{X1=i,X2=j}=P{X1=i}P{X2=j∣X1=i}=C122C5iC72−i×C103C5−ijC5+i3−j(i=0,1,2,j=0,1,2,3)

连续型随机向量的概率密度函数

  • 设二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)，若存在非负可积函数 f ( x , y ) ( − ∞ < x , y < + ∞ ) f(x, y) (- \infty < x, y < + \infty) f(x,y)(−∞<x,y<+∞)，使得对任意实数对 a 1 ≤ b 1 a_{1} \leq b_{1} a1≤b1， a 2 ≤ b 2 a_{2} \leq b_{2} a2≤b2都有 P {   a 1 ≤ X ≤ b 1 , a 2 ≤ Y ≤ b 2   } = ∫ a 1 b 1 ∫ a 2 b 2 f ( x , y ) d x d y P\set{a_{1} \leq X \leq b_{1} , a_{2} \leq Y \leq b_{2}} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}{f(x, y) dx dy} P{a1≤X≤b1,a2≤Y≤b2}=∫a1b1∫a2b2f(x,y)dxdy，则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)为二维连续型随机向量，称 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率密度函数或 X X X和 Y Y Y的联合概率密度函数，简称联合概率密度

随机向量的分布函数

  • 设 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)是二维随机向量，对于任意实数 x x x， y y y，称二元函数 F ( x , y ) = P {   X ≤ x , Y ≤ y   } F(x, y) = P\set{X \leq x , Y \leq y} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的分布函数，或随机变量 X X X， Y Y Y的联合分布函数
  • 对于任意的实数 x 1 x_{1} x1， x 2 x_{2} x2， y 1 y_{1} y1， y 2 y_{2} y2， x 1 < x 2 x_{1} < x_{2} x1<x2， y 1 < y 2 y_{1} < y_{2} y1<y2随机点 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)落入矩形区域 G = {   ( X , Y ) ∣ x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2   } G = \set{(X, Y) | x_{1} < X \leq x_{2} , y_{1} < Y \leq y_{2}} G={(X,Y)∣x1<X≤x2,y1<Y≤y2}内的概率可由分布函数表示为 P {   x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2   } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\set{x_{1} < X \leq x_{2} , y_{1} < Y \leq y_{2}} = F(x_{2}, y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) + F(x_{1}, y_{1}) P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)

性质

  • F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)对每个自变量是单调不减函数，即对任意固定的 y y y，若 x 1 < x 2 x_{1} < x_{2} x1<x2，则 F ( x 1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ) F(x_{1}, y) \leq F(x_{2}, y) F(x1,y)≤F(x2,y)

  • F ( − ∞ , y ) = lim ⁡ x → − ∞ F ( x , y ) = 0 F(- \infty, y) = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}{F(x, y)} = 0 F(−∞,y)=x→−∞limF(x,y)=0

  • F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)对每个自变量都是右连续的，即 F ( x + 0 , y ) = F ( x , y ) F(x + 0, y) = F(x, y) F(x+0,y)=F(x,y)， F ( x , y + 0 ) = F ( x , y ) F(x, y + 0) = F(x, y) F(x,y+0)=F(x,y)

  • 对于任意的 ( x 1 , y 1 ) (x_{1}, y_{1}) (x1,y1)， ( x 2 , y 2 ) (x_{2}, y_{2}) (x2,y2)，若 x 1 < x 2 x_{1} < x_{2} x1<x2， y 1 < y 2 y_{1} < y_{2} y1<y2，则 F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 F(x_{2}, y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) + F(x_{1}, y_{1}) \geq 0 F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0

连续型随机向量

  • 对于二维连续型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)，可以证明，若 D D D是 x O y xOy xOy平面上一个可度量的平面区域，则有 P {   ( X , Y ) ∈ D   } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\set{(X, Y) \in D} = \iint\limits_{D}{f(x, y) dx dy} P{(X,Y)∈D}=D∬f(x,y)dxdy

  • 若概率密度 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在点 ( x , y ) (x, y) (x,y)处连续，则有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \frac{\partial^{2}{F(x, y)}}{\partial{x} \partial{y}} = f(x, y) ∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y)

均匀分布
  • 设二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率密度为

f ( x , y ) = { 1 S D , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D f(x, y) = \begin{cases} \cfrac{1}{S_{D}} , & (x, y) \in D \\ 0 , & (x, y) \notin D \end{cases} f(x,y)=⎩ ⎨ ⎧SD1,0,(x,y)∈D(x,y)∈/D

  • 则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)服从区域 D D D上的均匀分布

边缘分布

边缘概率分布律

  • 二维离散型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的两个分量 X X X与 Y Y Y的概率分布律分别称为随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X， Y Y Y的边缘概率分布律

  • p i ⋅ = P {   X = x i   } = ∑ j p i j ( i = 1 , 2 , ⋯   ) p_{i \cdot} = P\set{X = x_{i}} = \sum\limits_{j}{p_{ij}} (i = 1, 2, \cdots) pi⋅=P{X=xi}=j∑pij(i=1,2,⋯)

  • p ⋅ j = P {   Y = y j   } = ∑ i p i j ( j = 1 , 2 , ⋯   ) p_{\cdot j} = P\set{Y = y_{j}} = \sum\limits_{i}{p_{ij}} (j = 1, 2, \cdots) p⋅j=P{Y=yj}=i∑pij(j=1,2,⋯)

  • 由联合分布律可以唯一确定边缘分布律，反之则不然

边缘概率密度函数

  • 二维连续型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于其分量 X X X， Y Y Y的概率密度分别记为 f X ( x ) f_{X}(x) fX(x)， f Y ( y ) f_{Y}(y) fY(y)，分别称 f X ( x ) f_{X}(x) fX(x)， f Y ( y ) f_{Y}(y) fY(y)为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X， Y Y Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度

  • f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x, y) dy} fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy

  • f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x, y) dx} fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx

二维正态分布

  • 若二维连续型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率密度为

f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] } ( − ∞ < x < + ∞ , − ∞ < y < + ∞ ) f(x, y) = \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}} \exp\left\{- \cfrac{1}{2 (1 - \rho^{2})} \left[\cfrac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2 \rho \cfrac{(x - \mu_{1}) (y - \mu_{2})}{\sigma_{1} \sigma_{2}} + \cfrac{(y - \mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]\right\} (- \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty) f(x,y)=2πσ1σ21−ρ2 1exp{−2(1−ρ2)1[σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2]}(−∞<x<+∞,−∞<y<+∞)

  • 其中 μ 1 \mu_{1} μ1， μ 2 \mu_{2} μ2， σ 1 \sigma_{1} σ1， σ 2 \sigma_{2} σ2， ρ \rho ρ均为常数，且 σ 1 > 0 \sigma_{1} > 0 σ1>0， σ 2 > 0 \sigma_{2} > 0 σ2>0， ∣ ρ ∣ < 1 |\rho| < 1 ∣ρ∣<1，则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)服从参数为 μ 1 \mu_{1} μ1， μ 2 \mu_{2} μ2， σ 1 2 \sigma_{1}^{2} σ12， σ 2 2 \sigma_{2}^{2} σ22， ρ \rho ρ的二维正态分布，记为 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X, Y) \sim N(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)
示例
问题
  • 求二维正态随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X， Y Y Y的边缘概率密度
解答

  • ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 = ( y − μ 2 σ 2 − ρ x − μ 1 σ 1 ) 2 + ( 1 − ρ 2 ) ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2 \rho \frac{(x - \mu_{1}) (y - \mu_{2})}{\sigma_{1} \sigma_{2}} + \frac{(y - \mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}} = (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}})^{2} + (1 - \rho^{2}) \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2=(σ2y−μ2−ρσ1x−μ1)2+(1−ρ2)σ12(x−μ1)2

  • 令 t = 1 1 − ρ 2 ( y − μ 2 σ 2 − ρ x − μ 1 σ 1 ) t = \frac{1}{\sqrt{1 - \rho^{2}}} (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}}) t=1−ρ2 1(σ2y−μ2−ρσ1x−μ1)， d y = σ 2 1 − ρ 2 d t dy = \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}} dt dy=σ21−ρ2 dt

f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 ( 1 − ρ ) 2 ( y − μ 2 σ 2 − ρ x − μ 1 σ 1 ) 2 d y = 1 2 π σ 1 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 1 2 π σ 1 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 , − ∞ < x < + ∞ \begin{aligned} f_{X}(x) &= \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x, y) dy} \\ &= \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{e^{- \frac{1}{2 (1 - \rho)^{2}} (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}})^{2}} dy} \\ &= \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{e^{- \frac{t^{2}}{2}} dt} \\ &= \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} , - \infty < x < + \infty \end{aligned} fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=2πσ1σ21−ρ2 1e−2σ12(x−μ1)2∫−∞+∞e−2(1−ρ)21(σ2y−μ2−ρσ1x−μ1)2dy=2πσ11e−2σ12(x−μ1)2∫−∞+∞e−2t2dt=2π σ11e−2σ12(x−μ1)2,−∞<x<+∞

  • 由此可知，二维正态分布的随机向量 ( X , Y ) (X , Y) (X,Y)关于 X X X， Y Y Y的边缘分布都是正态分布，且若 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X , Y) \sim N (\mu_{1} , \mu_{2} , \sigma_{1}^{2} , \sigma_{2}^{2} , \rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，则 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X \sim N (\mu_{1} , \sigma_{1}^{2}) X∼N(μ1,σ12)， Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y \sim N (\mu_{2} , \sigma_{2}^{2}) Y∼N(μ2,σ22)，由于边缘概率密度与参数 ρ \rho ρ无关，故对不同的二维正态分布，只要参数 μ 1 \mu_{1} μ1， μ 2 \mu_{2} μ2， σ 1 \sigma_{1} σ1， σ 2 \sigma_{2} σ2对应相同，那么它们的边缘分布都是相同的，这一事实表明，虽然 X X X， Y Y Y的联合概率密度决定边缘密度，但反之不真

边缘分布函数

  • 二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于两个分量 X X X， Y Y Y的分布函数分别记为 F X ( x ) F_{X}(x) FX(x)、 F Y ( y ) F_{Y}(y) FY(y)，分别称之为随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X， Y Y Y的边缘分布函数

  • F X ( x ) = P {   X ≤ x   } = P {   X ≤ x , Y < + ∞   } = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( u , y ) d y ] d u F_{X}(x) = P\set{X \leq x} = P\set{X \leq x , Y < + \infty} = \lim\limits_{y \rightarrow + \infty}{F(x, y)} = F(x, + \infty) = \int_{- \infty}^{x}{\left[\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(u, y) dy}\right] du} FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=y→+∞limF(x,y)=F(x,+∞)=∫−∞x[∫−∞+∞f(u,y)dy]du

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