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二项分布
二项分布用于求解二项随机事件进行多次独立实验，事件发生次数的概率。二项随机事件指只有两种可能的事件。
P ( x ∣ n , p ) = c n x ( p ) x ( 1 − p ) ( n − x ) P(x|n,p) = c_n^x(p)^x(1-p)^{(n-x)} P(x∣n,p)=cnx(p)x(1−p)(n−x)
p 代表x发生的概率、n代表实验次数、x代表事件发生的次数。
举例
某位篮球运动员的投篮命中率为70%，求投篮10次命中8次的概率是多少。
- 情况1
假设正好1-8次都命中、第9和第10次没命中。这种情况的概率是：
P 1 = 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.3 ∗ 0.3 ∗ 0.3 P_1 = {0.7} * {0.7} * {0.7} * {0.7} * {0.7} * {0.7} * {0.7} * {0.3} * {0.3} * {0.3} P1=0.7∗0.7∗0.7∗0.7∗0.7∗0.7∗0.7∗0.3∗0.3∗0.3 - 情况2
假设第1、3、4、5、7、8、9、10次命中，第2、6次没有命中。这种情况的概率是：
P 2 = 0.7 ∗ 0.3 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.3 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 ∗ 0.7 P_2 = {0.7} * {0.3} * {0.7} * {0.7} * {0.7} * {0.3} * {0.7} * {0.7} * {0.7} * {0.7} P2=0.7∗0.3∗0.7∗0.7∗0.7∗0.3∗0.7∗0.7∗0.7∗0.7
可以看出无论哪种情况最终的概率与命中顺序是无关的，最终的概率都是：
P n = 0.7 7 ∗ 0.3 2 Pn = {0.7}^7 * {0.3}^2 Pn=0.77∗0.32
那么一共有多少种情况呢，根据排列组合，在10次里任取8次不考虑顺序的组合有 C 10 8 C_{10}^{8} C108种。因此10次命中8次的概率如下：
P = C 10 8 ∗ 0.7 7 ∗ ( 1 − 0.7 ) 2 P = C_{10}^{8} * {0.7}^7 * {(1 - 0.7)}^2 P=C108∗0.77∗(1−0.7)2
直接套用二项分布公式、p为0.7、n等于10、x等于8。
泊松分布
泊松分布是基于二项分布，求单位空间/时间内二项随机事件发生次数的概率。
p ( x ∣ λ ) = e − λ λ x x ! p(x|\lambda) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} p(x∣λ)=x!e−λλx
其中x为单位时间/空间内时间发生的次数、 λ \lambda λ代表事件在单位空间/时间内发生的平均次数。
举例
篮球运动员比赛前6分钟分别投中的次数为：4、6、8、5、4、3次，求该篮球运动员一分钟内能投进4次的概率是多少。
已知前6分钟的投中的平均次数是 ( 4 + 6 + 8 + 5 + 4 + 3 ) / 6 = 5 (4+6+8+5+4+3) / 6 = 5 (4+6+8+5+4+3)/6=5
套用泊松分布公式，运动员一分钟能投进4次的概率为：
p ( 4 ∣ 5 ) = e − 5 ∗ 5 4 4 ! p(4|5) = \frac{e^{-5}*5^4}{4!} p(4∣5)=4!e−5∗54
如何理解泊松分布？
我们可以将投进篮球的概率认为是Y。然后将一分钟细分为n份，认为每一份要么出现一次投中篮球，要么不出现投中篮球。则每一份出现命中篮球的概率就是Y。一分钟投中x次篮球的概率就满足二项分布：
C n x Y x ( 1 − Y ) ( n − x ) C_n^xY^x{(1-Y)}^{(n-x)} CnxYx(1−Y)(n−x)
具体n取多少合适呢？由于篮球被投中是瞬间发生的，因此可以将n取无穷大。那么一分钟投中x次篮球的概率变成了：
lim n → + ∞ C n x Y x ( 1 − Y ) ( n − x ) \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } C_n^xY^x{(1-Y)}^{(n-x)} n→+∞limCnxYx(1−Y)(n−x)
解决了n接下来该解决Y了，由于事件在单位时间内发生的平均次数是 λ \lambda λ次，而我们将单位时间分成了n份，因此 Y = λ n Y=\frac{\lambda}{n} Y=nλ，带入公式：
P = lim n → + ∞ C n x ( λ n ) x ( 1 − λ n ) ( n − x ) P = \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } C_n^x {(\frac{\lambda}{n})}^x{(1-\frac{\lambda}{n})}^{(n-x)} P=n→+∞limCnx(nλ)x(1−nλ)(n−x)
= > P = lim n → + ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − x + 1 ) x ! ( λ n ) x ( 1 − λ n ) ( n − x ) => P = \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } {\frac{n(n-1)(n-2)...(n-x+1)}{x!}} {(\frac{\lambda}{n})}^x{(1-\frac{\lambda}{n})}^{(n-x)} =>P=n→+∞limx!n(n−1)(n−2)...(n−x+1)(nλ)x(1−nλ)(n−x)
= > P = 1 x ! lim n → + ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − x + 1 ) n x λ x ( 1 − λ n ) ( n − x ) => P = \frac{1}{x!} \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } {\frac{n(n-1)(n-2)...(n-x+1)}{n^x}} {{\lambda}}^x{(1-\frac{\lambda}{n})}^{(n-x)} =>P=x!1n→+∞limnxn(n−1)(n−2)...(n−x+1)λx(1−nλ)(n−x)
由于 lim n → + ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − x + 1 ) n x \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } {\frac{n(n-1)(n-2)...(n-x+1)}{n^x}} n→+∞limnxn(n−1)(n−2)...(n−x+1)等于1，所以：
= > P = λ x x ! lim n → + ∞ ( 1 − λ n ) ( n − x ) => P = \frac{{{\lambda}}^x}{x!} \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } {(1-\frac{\lambda}{n})}^{(n-x)} =>P=x!λxn→+∞lim(1−nλ)(n−x)
= > P = λ x x ! lim n → + ∞ ( 1 − λ n ) ( n − x ) => P = \frac{{{\lambda}}^x}{x!} \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } {(1-\frac{\lambda}{n})}^{(n-x)} =>P=x!λxn→+∞lim(1−nλ)(n−x)
= > P = λ x x ! lim n → + ∞ ( 1 − λ n ) n ∗ ( 1 − λ n ) − x => P = \frac{{{\lambda}}^x}{x!} \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty } {(1-\frac{\lambda}{n})}^{n} * {(1-\frac{\lambda}{n})}^{-x} =>P=x!λxn→+∞lim(1−nλ)n∗(1−nλ)−x
= > P = λ x x ! lim n → + ∞ ( 1 − λ n ) − n => P = \frac{{{\lambda}}^x}{x!} \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty }{(1-\frac{\lambda}{n})}^{-n} =>P=x!λxn→+∞lim(1−nλ)−n
= > P = λ x x ! lim n → + ∞ ( ( 1 − 1 n λ ) − n λ ) λ => P = \frac{{{\lambda}}^x}{x!} \lim \limits_{ n \rightarrow + \infty }({{(1-\frac{1}{\frac{n}{\lambda}})}^{\frac{-n}{\lambda}}})^{\lambda} =>P=x!λxn→+∞lim((1−λn1)λ−n)λ
= > P = λ x e − λ x ! => P = \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!} =>P=x!λxe−λ