基速下内嵌式永磁同步电机MTPA控制
1.转矩方程及两类电机区别
永磁同步电机转矩：
T e = 3 2 p [ ψ f i q + ( L d − L q ) i d i q ] T_{e}=\frac{3}{2} p\left[\psi_{f} i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d} i_{q}\right] Te=23p[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]
式中，p为磁极对数、 ψ f \psi_{f} ψf为永磁体磁链，iq，id分别为q轴和d轴电流，Ld和Lq分别为d轴电感和q轴电感
永磁同步电机（PMSM）根据制造工艺即将永磁体的放置位置的不同分为表贴式（SPMSM）和内嵌式（IPMSM），二者在转矩方程上不同在于：表贴式Ld=Lq=Ls，而内嵌式Ld<Lq。故而标贴式永磁同步电机转矩方程也可以写为：
T e = 3 2 p ψ f i q T_{e}=\frac{3}{2} p\psi_{f} i_{q} Te=23pψfiq
而电流幅值为： I s = i d 2 + i q 2 I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2} Is=id2+iq2
我们在控制电机时的目标为：尽可能以最小的电流来实现最大的转矩（调制算法用SVPWM而非SPWM也是这一思想：在现有条件下提高利用率）两类电机在FOC控制时通常采用不同的方法：
故对于表贴式永磁同步电机，因转矩只由iq构成，通常采用id = 0来控制来实现以最小的电流 分量实现最大的转矩，此时电流幅值： I s = i d 2 + i q 2 I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2} Is=id2+iq2 为id
而对于内嵌式电机来说，因 L d < L q L_{d}<L_{q} Ld<Lq，故而当id=0时，转矩并不是最大的，我们可以使得 i d < 0 i_{d}<0 id<0实现在相对小增加电流幅值的基础上使得转矩最大
2.MTPA控制id推导
通过以上分析，很容易得知，要让内嵌式永磁同步电机实现最大转矩电流比控制，即问题转化为在给定转矩 T e T_{e} Te下，最小化电流幅值 ，这里需要用到拉格朗日乘数法（考研的都知道）：
构建函数：
L ( i d , i q , λ ) = i d 2 + i q 2 + λ ( T e − 3 2 p [ ψ f i q + ( L d − L q ) i d i q ] ) \mathcal{L}\left(i_{d}, i_{q}, \lambda\right)=i_{d}^{2}+i_{q}^{2}+\lambda\left(T_{e}-\frac{3}{2} p\left[\psi_{f} i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d} i_{q}\right]\right) L(id,iq,λ)=id2+iq2+λ(Te−23p[ψfiq+(Ld−Lq)idiq])
上式对id和iq分别求偏导：
∂ L ∂ i d = 2 i d − λ ⋅ 3 2 p ( L d − L q ) i q = 0 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_{d}} = 2i_{d} - \lambda \cdot \frac{3}{2}p(L_{d} - L_{q})i_{q} = 0 \quad ∂id∂L=2id−λ⋅23p(Ld−Lq)iq=0
∂ L ∂ i q = 2 i q − λ ⋅ 3 2 p [ ψ f + ( L d − L q ) i d ] = 0 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_{q}} = 2i_{q} - \lambda \cdot \frac{3}{2} p\left[\psi_{f} + \left(L_{d} - L_{q}\right) i_{d}\right] = 0 \quad ∂iq∂L=2iq−λ⋅23p[ψf+(Ld−Lq)id]=0
将上两个式子联立消去 λ \lambda λ得到：
4 i q 3 p ( L d − L q ) i q = 4 i q 3 p [ ψ f + ( L d − L q ) i d ] \frac{4 i_{q}}{3 p\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{q}}\quad{}=\frac{4 i_{q}}{3 p\left[\psi_{f}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d}\right]}\quad{} 3p(Ld−Lq)iq4iq=3p[ψf+(Ld−Lq)id]4iq
进而： i d [ ψ f + ( L d − L q ) i d ] − ( L d − L q ) i q 2 = 0 i_{d}\left[\psi_{f}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d}\right]-\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{q}^{2}=0 id[ψf+(Ld−Lq)id]−(Ld−Lq)iq2=0
将上式中iq是为常数，且考虑到上面分析中 i d < 0 i_{d}<0 id<0与电感物理关系（ L d < L q L_{d}<L_{q} Ld<Lq）则:
i d = ψ f − ψ f 2 + 4 ( L q − L d ) 2 i q 2 2 ( L q − L d ) i_{d} = \frac{\psi_{f} - \sqrt{\psi_{f}^{2} + 4(L_{q} - L_{d})^{2} i_{q}^{2}}}{2(L_{q} - L_{d})} id=2(Lq−Ld)ψf−ψf2+4(Lq−Ld)2iq2
> 注意：上式是在iq已知的情况下解出的id表达式
将该id值带入转矩方程： T e = 3 2 p [ ψ f i q + ( L d − L q ) i d i q ] T_{e}=\frac{3}{2} p\left[\psi_{f} i_{q}+\left(L_{d}-L_{q}\right) i_{d} i_{q}\right] Te=23p[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]
得到 i q i_{q} iq关于转矩最终表达式：
i q = 1 2 A 4 Δ L 2 ( − ψ f + ψ f 2 − 4 Δ L 2 + i ψ f + ψ f 2 − 4 Δ L 2 ) i_{q} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{A}{4 \Delta L^{2}}} \left( \sqrt{ -\psi_{f} + \sqrt{\psi_{f}^{2} - 4 \Delta L^{2}} } + i \sqrt{ \psi_{f} + \sqrt{\psi_{f}^{2} - 4 \Delta L^{2}} } \right) iq=214ΔL2A (−ψf+ψf2−4ΔL2 +iψf+ψf2−4ΔL2 )
其中， A = 4 T e 3 p A = \frac{4 T_{e}}{3 p} A=3p4Te且 Δ L = L q − L d \Delta L = L_{q} - L_{d} ΔL=Lq−Ld
注：该方程需要解出四次方程，上述公式是AI推的，我也不知道正确与否
3.分析
在FOC控制仿真中，iq的给定通常是转速环的输出，故一种自然的想法是直接用转速环的输出当作iq来计算id，这可能是不正确的。更重要的是，转速环的输出也是转矩给定，故可以用转矩给定通过2中最后给出的公式计算 i d i_{d} id
查资料得知，工程上常用的是通过查表法 ，即通过以下三步：
（1）离线计算：根据电机的参数（ψf, Ld, Lq），在不同的转矩指令下，计算对应的id和iq值，使得在给定转矩下电流幅值最小（即满足MTPA条件）。
（2）制作表格：将转矩指令作为输入，对应的id和iq作为输出，制作成一维表格。
（3）在线查询：在实际控制中，根据转矩指令（由速度环或转矩环输出）查表得到id和iq的参考值。