一、数据结构
为解决上一节二叉查找树（BST）的指明缺陷，这里更加严格的平衡机制（左右子树高度差 ≤ 1）。由此引申出新的概念树------平衡二叉树。
1、平衡二叉树
1.1 什么是平衡二叉树？
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是一种特殊的二叉查找树，它在插入或删除节点后，会自动调整结构，确保"左右子树高度差不超过1"，从而保证操作效率始终为 O(log n)。
✅ 最经典的代表：AVL 树
- 由两位苏联科学家 Adelson-Velsky 和 Landis 在 1962 年提出
- "AVL" 就是他们名字首字母
🔑 核心定义：
对于 AVL 树中的任意一个节点 ，其左子树高度与右子树高度之差（称为"平衡因子"）的绝对值 ≤ 1。
1.2 如何保持平衡？------ 旋转（Rotation）机制
当插入/删除导致某个节点平衡因子变成 2 或 -2 时，说明树"歪了"，需要通过旋转把它"扶正"。
只有当添加一个新的节点之后，原本的树不再是一个平衡二叉树了，就会触发旋转机制。
🧠 旋转的本质：
- 不破坏 BST 的有序性（中序遍历结果不变！）
- 只调整父子关系和指针指向
- 像拧魔方一样局部调整结构
🌀 1. 左旋（Left Rotation）------ "把右孩子提上来"
旋转开始时，要确定添加的节点，不断的往父节点去找不平衡的节点。找到第一个"不平衡"的节点(10)之后，判断其右边的节点比左边多，所以触发左旋机制。这棵树向右倾斜，我们需要"向左拉一把" → 左旋
🎯 目标：让 11 成为新的根，10成为 11 的左孩子
步骤（以 10 为旋转中心）：
- 11 成为新根
- 10的右子树 = 11的左子树（可能为空）
- 11的左子树 = 10
接下里看比较复杂的例子：这里找到了根节点7，判断右子节点树高-左子节点树高>=1.进行左旋机制。
右旋反之，不再赘叙。
🌀 2. 右旋（Right Rotation）------ "把左孩子提上来"
🎯 场景：左子树太重（左边太长）
需要"向右推一把" → 右旋
步骤（以 4 为旋转中心）：
- 2 成为新根
- 4 的左子树 = 2 的右子树
- 2 的右子树 = 4
1.3 四种不平衡情况（必须掌握！）
当插入一个新节点后，从插入点向上回溯 ，第一个出现 |平衡因子| = 2 的节点就是"失衡点"。
根据新节点插入的位置，分为四种类型：
| 类型 | 名称 | 特征 | 解决方案 |
|---|---|---|---|
| LL | 左左 | 失衡节点的左孩子的左子树插入 | 右旋一次 |
| RR | 右右 | 失衡节点的右孩子的右子树插入 | 左旋一次 |
| LR | 左右 | 失衡节点的左孩子的右子树插入 | 先左旋（对左孩子），再右旋（对失衡点） |
| RL | 右左 | 失衡节点的右孩子的左子树插入 | 先右旋（对右孩子），再左旋（对失衡点） |
✅ 记忆技巧：看最后两步路径方向 ！
例如：从失衡点 → 左 → 右 → 就是 LR 型
这种情况，显然不平衡的节点是7，左子树树大于右边，进行右旋。
旋转之后：仍然不平衡
真正的解决方法为：先进行左旋，使其变成左左的情况，然后进行右旋。
1.4 平衡二叉树 vs 普通 BST 性能对比
| 操作 | 普通 BST（最坏） | AVL 树 |
|---|---|---|
| 查找 | O(n) | O(log n) |
| 插入 | O(n) | O(log n) |
| 删除 | O(n) | O(log n) |
| 空间开销 | 无额外 | 每个节点需存 height |
| 实现复杂度 | 简单 | 较复杂（需旋转） |
💡 AVL 适合查询多、插入少的场景；如果插入频繁，可考虑红黑树（允许轻微不平衡，旋转更少）
总结：关键要点
| 概念 | 说明 |
|---|---|
| 平衡因子 | 左子树高 - 右子树高，合法值：-1, 0, 1 |
| 左旋 | 解决"右重"问题，右孩子上位 |
| 右旋 | 解决"左重"问题，左孩子上位 |
| LL/RR | 单旋即可 |
| LR/RL | 双旋（先子后父） |
| 旋转原则 | 不破坏 BST 有序性，仅调整结构 |
| AVL 优势 | 严格平衡，查询极快 |
| AVL 劣势 | 插入/删除时旋转频繁，维护成本高 |
🌟 最后一句话总结 ：
"平衡二叉树就像一棵会自我矫正的大树------无论你怎么'插'，它都能通过'旋转'保持挺拔，确保每一片叶子都能被快速找到！"
声明：
题目详细分析借鉴于通义AI
以上均来源于B站@ITheima的教学内容！！！
本人跟着视频内容学习，整理知识引用