牛客周赛 Round 117

题目 D：树变链的最少操作数

题目描述

小芳有一颗 n 个节点的树，但小红更喜欢链。为了把这棵树变成链，小红可以进行如下操作：

选择任意一条边，其连接两个点 u, v。将这条边断开后，在点 u 所在连通块中任选一个节点，向点 v 连边。

小红想知道，要把这棵树变成链最少需要几次操作？

输入描述

第一行输入一个整数 n（1 ≤ n ≤ 2×10⁵）。之后的 n−1 行，每行输入两个整数 uᵢ, vᵢ（1 ≤ uᵢ, vᵢ ≤ n），代表有一条边连接 uᵢ 和 vᵢ。

输出描述

输出一个整数，代表小红所需的最少次数。

示例 1

输入

51 21 31 44 5

输出

说明

一种可行的操作方法是断开点 1 和 3 间的边，之后在点 2 与点 3 间连边。

这道题我们可以先来考虑一下结果和初始状态有什么不同

先拿样例来说，最开始是最左边的树，经过操作变成了右边的链。

右边的链（但是看着有点像树）我们可以换个形式来看

这个样子看起来就好理解多了，那我们左图如何变成链呢？我们不难发现左图中1号点一定不是链中的点，为什么呢？

我们可以通过观察链的性质：每个点的度不超过2，只在叶子结点度等于1。

所以我们可以想到需要去除1号点的某条边，使得能成为链中的点。

此时，我们可以想到答案的组成部分，把度大于2的点都存在起来if(deg>2):res+=(deg-2) res为答案，deg为度

那现在我们把deg大于2的部分都存起来了，该怎么接呢？

我们可以先把操作都存下来，不要着急操作，也就是把deg大于2的点存起来后不要着急接，因为我们最后的状态一定是一条链，我们无论是把deg大于2的点存下来后再去接，还是最后再去接都没有影响。这里可能有点抽象，我拿个样例演示一下

对于这颗树而言，度数大于2的点有：1，2，4，所以对于这三点，我们可以先拆连接1号点的某个边，存起来，此时有两种选择。

第一种选择，先存着，就像这样

第二种选择，分开边后立即进行连接，连到某个节点上去

因为这道题没有要求我们给出操作顺序，所以无论哪种操作都是合法的，那我们就可以选一个省心一点的方式，把所有的边都拆完了，在进行组装。

我们把度大于2的部分都拆下来了，那原本的树就变成了什么了？是不是就变成了若干个链了？，因为我们此时每个点的度数都小于等于2完全就是合法的。

拿我们上面举的这颗树的例子，我们把所有度大于2的部分都拆下来

最后首尾相接一下不就变成了链了吗？

所以答案就是i从1到n遍历if(deg $i$ >2):res+=(deg $i$ -2)

代码奉上

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int deg[N],n;
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    long long res=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        deg[u]++,deg[v]++;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        res+=max(deg[i]-2,0);
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

这道题其实教给我们两个点：

（1）当从开始状态推最终状态不好想时候，我们可以想想从最终状态到开始状态入手（正难则反）

（2）先把操作存下来，别急着进行操作