【记录】网络流最小割建模三题

hansang_IR2025-11-20 15:47

最近研究图论建模，教练给了三道最小割，浅浅品鉴，不打代码。

最小割："割" 指的是一种边的集合，如果移除这个集合的全部边，就会断开源点和汇点的连接。

最大流最小割定理 ：在一个网络流中，从源点到汇点的最大流量 ，等于它的最小割中每一条边的容量之和。

注意到：

（1）文理选科是二元的，只能选一个

（2）需要收益最大化

（3）获得相邻附加收益是有依赖的（相邻同学必须全部选和我一样的）

收益最大化想到 dp、最短路、网络流，相邻附加收益不方便 dp，最短路和状态挂钩也不合适。

考虑网络流，二元的网络流想到最小割，当割完边后整个图会分成 V-S（包含源点）、V-T（包含汇点）两个点集，这很像最终决定的文理选科。

设 V-S 代表选文科，V-T 代表选理科。

源点 S 连向节点 x 的边权是，代表学文带来的收益，节点 x 割掉与 S 的边代表放弃学文。

汇点 T 连向节点 x 的边权是，代表学理带来的收益，节点 x 割掉与 T 的边代表放弃学理。

相邻同学的依赖关系也需要边来表示，考虑新建一个辅助点 。

S 向连边提供的流量，再向节点 x 的所有相邻点连边，流量为无穷大。

这样只有当 x 和所有相邻同学都选择文科（都不割 S 到这些点的边）时，才能保留的收益。

理科 T 同理，只不过建边方向相反。

跑完网络流后，总收益 = 所有基础收益 + 所有额外收益 - 最小割。

因为最小割的值代表我们为了满足条件而必须舍弃的最小收益。

依旧选课，连做法都一模一样。

要注意的是每个依赖关系都要增加一个辅助节点，所有流量（收益）都从源 / 汇点而来。

所以辅助接点先连源汇点，流量为收益大小。

接着将和该依赖关系有关的所有点和辅助节点连一起，这代表只有这些点都选了，依赖关系才成立，边的流量（收益）才能顺利计算。

（1）二元

（2）最大收益

（3）依赖关系附加收益

就这样，三倍经验。