2.2 列空间和零空间

在路上看风景2025-11-26 20:05

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1).列空间简介

设A是一个m * n的矩阵, 其列向量为a1, a2, ... an, 其中ai ∈ R^n

a.矩阵A的列空间, 记作Col(A)或C(A), 定义如下:

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b.换句话说, Col(A)是A的列向量的所有线性组合的集合, 它是R^m的一个子空间; 因此, 

Col(A) = Span {a1, a2.. an}, 矩阵A的列向量张成的空间

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2).列空间与线性方程组的联系

列空间最直接, 最重要的应用在于理解线性方程组Ax = b的解的情况, 考虑方程组: Ax = b

其中A是m * n矩阵, x是n维未知向量, b是m维常数向量; 根据矩阵乘法的列视角, 这个方程可

以写成:

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我们可以得出一个重要的结论:

"线性方程组Ax = b存在解, 当前仅当向量b在矩阵A的列空间中"

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零空间就是"方程Ax = 0的所有解的集合"

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1).Ax = 0的实例

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2).判断方程组解的唯一性

对于方程Ax = b, 如果A的零空间只有零向量, 那么当Ax = b有解时, 也是唯一的