本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 征向量与特征值 的学习笔记。
1、几何理解
特征向量是线性变换中方向始终不变，只发生伸缩（或反向）的非零向量。特征值则描述了该方向被拉伸或压缩的倍数。
特征向量是在变换中只被拉伸或压缩，而不被旋转出自身直线的向量。
线性变换时，特征向量拒绝"转向"，只接受"伸缩"或"反向"（反向是伸缩倍数为负数的伸缩，方向依然在同一条直线上）
特征值λ是特征向量的伸缩系数，λ>0时，向量与原方向同向，|λ|>1拉伸，|λ|<1缩短；λ<0时，向量与原方向反向，|λ|决定伸缩幅度；λ=0时，向量被压缩到原点（无意义）。
形象比喻
- 地球仪旋转：地轴方向就是特征方向
- 在一个画满箭头的画布，拉伸画布，箭头方向不变，长度放大的箭头就是特征向量箭头
缩放
矩阵 A = 3 0 0 2 A = \begin{bmatrix}3 & 0 \\0 & 2\end{bmatrix} A=3002
- 特征向量就是坐标轴方向
- x方向拉伸3倍，特征值=3
- y方向拉伸2倍，特征值=2
旋转90°
A = 0 − 1 1 0 A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} A=01−10
所有向量旋转90°，所有方向都改变，无特征向量。
2、特征方程
1.对于一个 n × n n×n n×n 方阵 A A A，如果存在 非零向量 v v v 和 标量 λ λ λ 使得： A v = λ v Av=λv Av=λv
- λ λ λ 称为特征值（标量）
- v v v 称为对应 λ λ λ 的特征向量
2.移项： A v − λ v = 0 Av-λv=0 Av−λv=0
3.插入单位矩阵 I I I： A v − λ I v = 0 Av-λIv=0 Av−λIv=0
为什么需要 λ I λI λI 而不是 λ λ λ？
因为 A A A 是矩阵， λ λ λ 是标量，不能直接相减
通过单位矩阵 I I I 将 λ λ λ 转换为矩阵形式：
λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ \begin{bmatrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ\end{bmatrix} λ000λ000λ
4.提取 v v v： ( A − λ I ) v = 0 (A-λI)v = 0 (A−λI)v=0
5.要有非零解 v v v，得到特征方程： d e t ( A − λ I ) = 0 det(A - λ I) = 0 det(A−λI)=0