【数据结构-特殊矩阵】3.5 特殊矩阵-压缩存储

数智工坊2026-02-06 14:37

下三角情况

等差数列求和公式 ：Sn=n(a1+an)2S_{n} =\frac{n(a_{1}+a_{n} )}{2}Sn=2n(a1+an)

构建k=f(n)k=f(n)k=f(n)的函数 ：第一行1个元素，第二行2个元素，第n行有n个元素，根据等差数列公式 ，可以得到数据下标k=n(n+1)2k=\frac{n(n+1)}{2}k=2n(n+1)，又因为数据下标一般是从0开始的，所以最终k=n(n+1)2−1k=\frac{n(n+1)}{2}-1k=2n(n+1)−1

构建k=f(i,j)k=f(i,j)k=f(i,j)的函数 ：第一行1个元素，第二行2个元素，第(i-1)行（可以理解为倒数第二行 ）有(i-1)个元素，最后一行有j个元素，所以由等差数列可以得到k=i(i−1)2+jk=\frac{i(i-1)}{2}+jk=2i(i−1)+j，又因为数据下标一般是从0开始的，所以最终k=i(i−1)2+j−1k=\frac{i(i-1)}{2}+j-1k=2i(i−1)+j−1

由矩阵的行列编号i，ji，ji，j推导出数组的下标k

前 i−1 行的元素总数 ：第 1 行有 2 个非零元素（a1,1,a1,2），第 2 到第 i−1 行，每行有 3 个非零元素（主对角线 + 上下邻对角线），所以前 i−1 行的总元素数为：2+3×(i−2)=3(i−1)−1

第 i 行中 ai,j 的位置 ：第 i 行的非零元素是 ai,i−1,ai,i,ai,i+1，所以 ai,j 是第 i 行的第 (j−i+2) 个元素（比如 j=i−1 时是第 1 个，j=i 时是第 2 个，j=i+1 时是第 3 个，使用a21、a22、a23带入公式即可推导）

k=2i+j-2推导 ：前 i−1 行的元素总数为3(i−1)−1 ，第 i 行中 ai,j 的位置为第**(j−i+2)**个元素，k= $3(i-1)-1$ + (j−i+2) = 2i+j-2，又因为数组下标为0，所以k=2i+j−3k=2i+j-3k=2i+j−3