线性代数 - 解空间

线性代数 - 解空间

flyfish

例1：一维解空间（直线）

方程组（2个方程，2个未知数）
{x1−x2=02x1−2x2=0⇒A=1−12−2,Ax=0 \begin{cases} x_1 - x_2 = 0 \\ 2x_1 - 2x_2 = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad A\mathbf{x}=\mathbf{0} {x1−x2=02x1−2x2=0⇒A=12−1−2,Ax=0

行简化后得到 x1=x2x_1 = x_2x1=x2，令自由变量 x2=tx_2 = tx2=t，解为
x=tt=t11,t∈R \mathbf{x} = \begin{bmatrix} t \\ t \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t\in\mathbb{R} x=tt=t11,t∈R

解空间 ：
Null⁡(A)=span⁡{11} {\operatorname{Null}(A) = \operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}} Null(A)=span{11}

几何意义：在 ℝ² 平面上是一条过原点的直线 y = x。

例2：二维解空间（平面）

方程组（2个方程，3个未知数）
{x1+x2+x3=02x1+2x2+2x3=0⇒x1+x2+x3=0 \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 + x_3 = 0 {x1+x2+x3=02x1+2x2+2x3=0⇒x1+x2+x3=0

自由变量取 x2=s, x3=tx_2 = s,\ x_3 = tx2=s, x3=t，则 x1=−s−tx_1 = -s - tx1=−s−t，解为

方程组的解的形式

0. 向量形式

x=x1x2x3=−s−tst=s−110+t−101\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -s - t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x= x1x2x3 = −s−tst =s −110 +t −101

（后面调整为 s10−1+t01−1s\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}s 10−1 +t 01−1 ，只是向量系数符号调整，不影响结果）
x=s−110+t−101=s10−1+t01−1(s,t∈R) \mathbf{x} = s\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \quad (s,t \in \mathbb{R}) x=s −110 +t −101 =s 10−1 +t 01−1 (s,t∈R)

1. 分量形式（变量表达式）

直接用自由变量表示每个未知数：
{x1=−x2−x3x2=x2(任意取值)x3=x3(任意取值)\begin{cases} x_1 = -x_2 - x_3 \\ x_2 = x_2 \quad (\text{任意取值}) \\ x_3 = x_3 \quad (\text{任意取值}) \end{cases}⎩ ⎨ ⎧x1=−x2−x3x2=x2(任意取值)x3=x3(任意取值)

（这里x2、x3x_2、x_3x2、x3是"自由变量"，可以取任意实数）

2. 坐标点形式（三维空间中的点）

把解表示为R3\mathbb{R}^3R3中的点，每个点的坐标由自由变量决定：
(x1,x2,x3)=(−x2−x3, x2, x3)(x_1, x_2, x_3) = (-x_2 - x_3,\ x_2,\ x_3)(x1,x2,x3)=(−x2−x3, x2, x3)

比如：

• 当x2=1,x3=0x_2=1, x_3=0x2=1,x3=0时，解是(−1,1,0)(-1, 1, 0)(−1,1,0)；
• 当x2=0,x3=1x_2=0, x_3=1x2=0,x3=1时，解是(−1,0,1)(-1, 0, 1)(−1,0,1)；
• 当x2=2,x3=3x_2=2, x_3=3x2=2,x3=3时，解是(−5,2,3)(-5, 2, 3)(−5,2,3)。

3. 参数方程形式（平面的参数表示）

用两个独立参数（比如a、ba、ba、b）表示平面上的所有点：
{x1=−a−bx2=ax3=b(a,b∈R)\begin{cases} x_1 = -a - b \\ x_2 = a \\ x_3 = b \end{cases} \quad (a,b \in \mathbb{R})⎩ ⎨ ⎧x1=−a−bx2=ax3=b(a,b∈R)

（这里a、ba、ba、b是任意实数，和之前的s、ts、ts、t是同一个意思，只是换了参数符号）

4. 几何方程形式（平面的一般式）

所有解都满足的约束条件，就是解空间对应的平面方程：
x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0x1+x2+x3=0

（三维空间中，一次方程对应平面，这就是解空间的"几何表达式"）
解空间 ：
Null⁡(A)=span⁡{10−1,01−1} {\operatorname{Null}(A) = \operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}} Null(A)=span⎩ ⎨ ⎧ 10−1 , 01−1 ⎭ ⎬ ⎫

几何意义：在 ℝ³ 空间里是过原点的一个平面。

例3：非齐次的情况（对比看）

同例1的系数矩阵，但右边不是 0：
{x1−x2=32x1−2x2=6⇒x1−x2=3 \begin{cases} x_1 - x_2 = 3 \\ 2x_1 - 2x_2 = 6 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x_1 - x_2 = 3 {x1−x2=32x1−2x2=6⇒x1−x2=3

一个特解：x1=3,x2=0x_1 = 3, x_2 = 0x1=3,x2=0 → x0=30\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}x0=30

对应的齐次解空间还是例1的：span⁡{11}\operatorname{span}\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}span{11}

所有解：
x=30+t11=3+tt,t∈R \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3+t \\ t \end{bmatrix}, \quad t\in\mathbb{R} x=30+t11=3+tt,t∈R

几何意义：ℝ² 中一条平行于 y=x 但不过原点的直线（x-y=3）。

ℝ：表示全体实数 （real numbers），包括整数、小数、无理数、负数......比如 -3, 0, 2.7, √2, π 都属于 ℝ。

上标 2：表示二维 ，也就是每个元素都由两个实数 按顺序组成。所有由两个实数 有序排列组成的集合，也就是二维实数空间 。

所以 ℝ² 就是：
R2={(x,y)∣x∈R, y∈R} \mathbb{R}^2 = \{ (x, y) \mid x\in\mathbb{R},\ y\in\mathbb{R} \} R2={(x,y)∣x∈R, y∈R}

或者写成列向量的形式也一样：
R2={xy∣x,y∈R} \mathbb{R}^2 = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mid x,y\in\mathbb{R} \right\} R2={xy∣x,y∈R}

记号	含义	几何形象
ℝ¹ 或 ℝ	一维实数空间	数轴
ℝ²	二维实数空间	平面
ℝ³	三维实数空间	我们生活的立体空间
ℝⁿ	n维实数空间	高维空间

元素	是否属于 ℝ²？	说明
(3, -5)	是	两个实数
10\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}10	是	列向量形式，等价于 (1,0)
(1, 2, 3)	不是	有三个数，属于 ℝ³
(√2, π)	是	√2 和 π 都是实数
(1+2i, 3)	不是	出现了虚数 i，属于 ℂ²（复数平面）

解空间 严格的说

设 A 是一个 m×n 的矩阵（m 个方程，n 个未知数）。

1. 齐次线性方程组
   Ax=0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0

   它的所有解 组成的集合叫做 A 的零空间 ，记作
   Null⁡(A)或ker⁡(A) \operatorname{Null}(A) \quad \text{或} \quad \ker(A) Null(A)或ker(A)

   叫法：零空间（很多教材也直接叫"解空间"，但严格来说只有齐次才叫解空间）。

Null(A) 一定是 ℝⁿ 的一个向量子空间（一定包含零向量，对加法和数乘封闭）。

2. 非齐次线性方程组
   Ax=b(b≠0) A\mathbf{x} = \mathbf{b} \quad (\mathbf{b} \neq \mathbf{0}) Ax=b(b=0)
   它的所有解组成的集合不叫 解空间，而叫解集合 ，它是一个仿射子空间 ：
   如果 x0\mathbf{x}_0x0 是 Ax = b 的一个特解，则
   所有解=x0+Null⁡(A) \text{所有解} = \mathbf{x}_0 + \operatorname{Null}(A) 所有解=x0+Null(A)
   （特解 + 齐次部分的全部解）

解空间 Null(A) 可以用 span 的形式写出来：
Null⁡(A)=span⁡{v1,v2,...,vk} \operatorname{Null}(A) = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k\} Null(A)=span{v1,v2,...,vk}

其中 v1,...,vk\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_kv1,...,vk 是一组基（线性无关且能生成整个解空间），k = 自由变量个数 = 解空间的维数。

初等行变换没改解空间

无论怎么做三类初等行变换（倍加、对换、倍乘非零），方程组的解集合完全不变，因此：

齐次方程的解空间 Null(A) 不变

非齐次方程的所有解集合也不变

1. 右边全 0 → 齐次 → 解空间 = Null(A) = span{基向量}（是子空间）
2. 右边有非 0 → 非齐次 → 所有解 = 特解 + Null(A)（是仿射空间）
3. 解空间的基底个数 = 自由变量个数 = n - rank(A)
4. 初等行变换不改变解集合

记号	全称	字面意思
Null(A)	Null space of A	"null" = 零、无、空的。Ax = 0 的解就是让 Ax 结果为"零向量"的 x 的集合，所以叫"零空间"。（德语叫 Kern，英文就叫 Null space）
span{...}	Span of a set of vectors	"span" 本意是"跨度、跨越、生成范围"。就像两根柱子用横梁一撑，就能"跨越"出一大片区域；几个向量一组合，就能"跨越"出一大片空间，所以叫"张成"。

Null space → "让 Ax 等于 null（零向量）的空间" → 零空间

Span → "这些向量能撑起（span across）多大的地盘" → 张成空间