P8615 [蓝桥杯 2014 国 C] 拼接平方数——Java解答

P8615 $蓝桥杯 2014 国 C$ 拼接平方数

题目描述

小明发现 49 49 49 很有趣，首先，它是个平方数。它可以拆分为 4 4 4 和 9 9 9，拆分出来的部分也是平方数。 169 169 169 也有这个性质，我们权且称它们为：拼接平方数。

100 100 100 可拆分 1 , 00 1,00 1,00，这有点勉强，我们规定， 0 , 00 , 000 0,00,000 0,00,000 等都不算平方数。

小明想：还有哪些数字是这样的呢？

你的任务出现了：找到某个区间的所有拼接平方数。

输入格式

两个正整数 a , b ( a < b < 1 0 6 ) a,b(a<b<10^6) a,b(a<b<106)。

输出格式

若干行，每行一个正整数。表示所有的区间 $a , b$ $a,b$ $a,b$ 中的拼接平方数，从小到大输出。

输入输出样例 #1

输入 #1

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169 10000

输出 #1

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说明/提示

时限 1 秒, 256M。蓝桥杯 2014 年第五届国赛
洛谷链接

思路讲解

先保证自己是平方数，再尝试所有"断位"拆法，看能不能拆出两个非零平方数。

java 复制代码

import java.util.Scanner;

public class Main {

    // 判断是不是平方数
    public static boolean isPerfectSquare(int n) {
        if (n < 0) {
            return false;
        }
        int num = (int) Math.sqrt(n);
        return num * num == n;
    }

    // 拆分后各自判断是不是拼接平方数
    public static boolean couldFormSquare(int num) {
        if (isPerfectSquare(num)) {
            // 按 10/100/1000... 的位置拆分
            for (int i = 10; i < num; i *= 10) {
                int numRight = num % i;   // 右边部分
                int numLeft = num / i;    // 左边部分
                // 两边都非 0 且都是平方数即可返回 true
                if (numRight != 0 && numLeft != 0 && isPerfectSquare(numRight) && isPerfectSquare(numLeft)) {
                    return true;
                }
            }
            return false;
        }
        return false;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int a = sc.nextInt();
        int b = sc.nextInt();
        // 遍历区间 [a, b] 并输出所有拼接平方数
        for (int n = a; n <= b; n++) {
            if (couldFormSquare(n)) {
                System.out.println(n);
            }
        }
    }
}

但是，这段代码还有些不足。isPerfectSquare 每轮都调用 Math.sqrt，在 1e6 范围里不会超时，但可以提前打表，把 0‥1 000 000 里所有平方数一次性标记出来，后面 O(1) 查询即可，这样大幅提升了效率。

什么是打表？

打表其实就是 "先把答案算出来，存到数组里，用的时候直接查"

空间换时间

开一块布尔数组

java 复制代码

static boolean[] isSquare = new boolean[1_000_001];   // 索引 0..1 000 000

代码运行时，一次性把平方数全标成 true，存放于数组中

java 复制代码

static {                  // 静态代码块只执行一次
    for (int i = 0; (long) i * i <= 1_000_000; i++) {  // i*i 可能超 int，强转 long
        isSquare[i * i] = true;              
        // 把 0,1,4,9,16...1 000 000 全标 true
    }
}

以后任何地方想判断 n 是不是平方数，直接isSquare $n$ 查询，时间复杂度为O(1)

java 复制代码

if (isSquare[n]) { ... }   // O(1) 查询，不用再算 sqrt

完整代码如下：

java 复制代码

import java.util.Scanner;

public class Main1 {

    //可以提前打表，把 0‥1 000 000 里所有平方数 一次性标记出来，后面 O(1) 查询 即可。
    static boolean[] isSquare = new boolean[1_000_001];  
    static {
        for (int i = 0; (long) i * i <= 1_000_000; i++) {
            isSquare[i * i] = true;
        }
    }


    //拆分后各自判断是不是拼接平方数
    public static boolean couldFormSquare(int num) {
        if (isSquare[num]) {
            for (int i = 10; i < num; i *= 10) {
                int numRight = num % i;
                int numLeft = num / i;
                if (isSquare[numRight] && isSquare[numLeft] && numRight != 0 && numLeft != 0) {
                    return true;
                }
            }
            return false;
        }
        return false;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int a = sc.nextInt();
        int b = sc.nextInt();
        for (int n = a; n <= b; n++) {
            if (couldFormSquare(n)) {
                System.out.println(n);
            }
        }
    }
}

P8615 [蓝桥杯 2014 国 C] 拼接平方数——Java解答