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- [一、Bézier 曲线](#一、Bézier 曲线)
前言：
在计算机图形学、动画设计、字体排版乃至汽车制造等领域，有一种数学工具被广泛使用，它既能精确描述复杂的曲线形状，又具备直观的几何控制方式这就是贝塞尔曲线（Bézier Curve）。
一、Bézier 曲线
1、历史背景
贝塞尔曲线得名于法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier），他在20世纪60年代为雷诺汽车公司工作时，将其用于汽车车身的计算机辅助设计（CAD）。然而，几乎同时，另一位法国数学家保罗·德·卡斯特里奥在雪铁龙公司也独立发展出了一种类似的算法（即著名的 de Casteljau 算法）。尽管卡斯特里奥的工作更早完成，但由于其成果属于公司机密，直到多年后才公开，因此这一曲线最终以贝塞尔的名字广为人知。
2、定义
贝塞尔曲线是一种在计算机图形学中广泛使用的参数曲线 ，它由一组控制点定义 ，并通过一个参数
t来生成平滑的曲线路径。
3、常见低阶 Bézier 曲线
4、高阶 Bézier 曲线
5、关键性质
- 端点插值 ：曲线始终从
P0开始，在Pn结束。 - 凸包性：曲线完全位于其控制点的凸包内部。
- 对称性：若将控制点顺序反转，得到的曲线相同但方向相反。
- 变差缩减性：曲线不会比控制多边形"振荡"更剧烈。
- 可细分性 ：可通过
de Casteljau算法将曲线分割为两段，每段仍是Bézier曲线。
6、de Casteljau 算法
这是计算贝塞尔曲线上某一点的数值稳定且直观的方法。以三次贝塞尔曲线为例：
- 对每对相邻控制点进行线性插值，得到三个新点；
- 对这三个新点再次插值，得到两个点；
- 最后对这两个点插值得到曲线上对应参数 t 的点。
该算法不仅用于求值，还可用于曲线细分，在渲染和碰撞检测中非常有用。